„Háromszög-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

→‎A tétel általánosításai: összegek és integrálok
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
(→‎A tétel általánosításai: összegek és integrálok)
:<math>|u| \le \sqrt{u^2{+}v^2},</math>
 
ami <math>0 \le v^2\ </math> és a valós négyzetgyökfüggvény[[négyzetgyök]]függvény monotóniája miatt mindig fennáll.
 
A valós esethez hasonlóan látható be a kivonásos alak is
 
:<math>\Big| |z_1|{-}|z_2|\Big| \le |z_1{\pm}z_2| \le |z_1|{+}|z_2|</math> minden <math>z_1,\,z_2\in\mathbb{C}</math>-re.
===Összegekre és integrálokra===
A háromszög-egyenlőtlenség többszöri alkalmazásával és teljes indukcióval
 
:<math>\left|\sum_{i=1}^n x_i\right| \leq \sum_{i=1}^n \left| x_i\right|</math>
 
ahol az <math>x_i\;</math> számok lehetnek valósak, vagy komplexek.
 
Integrálokra: Legyen az <math>f:I\to\Bbb{R}</math> függvény Riemann-integrálható, ahol <math>I=[a,b]\,</math> egy intervallum!
 
Ekkor
 
:<math>\left|\int_I f(x)\, dx\right|\le \int_I |f(x)|\, dx</math>.<ref>Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis, Teil 1.'' 8. kiadás. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz '''85.1'''</ref>
 
Hasonlók teljesülnek komplex értékű függvényekre is:
 
<math>f:I\to\Bbb{C}</math>,<ref>Walter Rudin: ''Real and Complex Analysis''. MacGraw-Hill 1986, ISBN 0-07-100276-6. Theorem '''1.33'''</ref>.
 
Ekkor ugyanis van egy komplex <math>\alpha\;</math> úgy, hogy <math>\alpha\int_I f(x)\, dx=\left|\int_I f\, dx\right|</math> és <math>|\alpha|=1\;</math>.
 
Mivel
 
:<math>\left|\int_I f(x)\, dx\right|=\alpha\int_I f(x)\, dx=\int_I \alpha\, f(x)\, dx=\int_I \operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx+i\,\int_I \operatorname{Im}(\alpha f(x))\,dx</math>
 
valós, ezért <math>\int_I \operatorname{Im}(\alpha f(x))\,dx</math> szükségképpen egyenlő nullával.
 
Emellett
 
:<math>\operatorname{Re}(\alpha f(x)) \leq |\alpha f(x)| = |f(x)|</math>,
 
összetéve tehát
 
:<math>\left|\int_I f(x)\, dx\right| =\int_I\operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx \le \int_I|f(x)|\, dx</math>.
 
== Forrás ==