„Hilbert-tér” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
83. sor:
==Bázis==
''Definíció:'' A ''H'' Hilbert-tér egy maximális ortonormált rendszerét '''ortonormált bázis'''nak nevezzük. Azaz <math>B\subset H</math> egy ortonormált bázis, ha ''B'' ortonormált rendszer, és ''B'' bármely <math>x\in H</math>-val való bővítés után, már nem ortonormált rendszer.
A [[Zorn-lemma]] (illetve a [[kiválasztási axióma]]) használatával megmutatható, hogy minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa.
Ha ''y'' egy ''H'' Hilbert-térbéli vektor és <math>B=\{ x_i\in H: i\in I \}</math> egy ortonormált bázisa ''H''-nak, ahol ''I'' egy tetszőleges indexhalmaz, akkor:
<math>y=\sum_{i\in I}\langle{x_i},{y}\rangle x_i</math>, ahol <math>\langle{x_i},{y}\rangle</math> csak [[megszámlálható]] sok <math>i\in I</math>-re nem nulla, és az összegzés független a sorrendtől. y kifejezése bázisvektorok [[sor]]aként egyértelmű. Továbbá:
<math>||y||^2=\sum_{i\in I}|\langle{x_i},{y}\rangle|^2</math> ('''[[Parseval tétel]]''').
==Megjegyzések==
| |||