„Geometriai szerkesztések” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a →Nemeuklideszi szerkesztések: kisebb formai javítások, |
a kisebb formai javítások |
||
1. sor:
A '''geometriai szerkesztés''' a [[geometria]]i feladatoknak az a típusa, amelyekben adott elemekből meghatározott feltételeknek eleget tevő további elemeket kell létrehozni.
Szűkebb értelemben a síkgeometriai szerkesztési feladatban '''pontok, egyenesek''' és '''körök''' lehetnek mind az adott, mind a megszerkesztendő alakzatok. A feladat feltételei pedig a '''metszés, illeszkedés, érintés''' mellett bizonyos '''metrikus tulajdonságokat''' (szög, szakasz, terület stb.) írhatnak elő. Ez a szigorúbb megfogalmazás nem zárja ki az említett elemekből '''összetett alakzatok''' (pl. sokszögek, körcikkek stb.) szerepeltetését. A térbeli szerkesztési feladatokat általában síkbeli feladatokra vezetjük vissza. Erre a technikára specializálódott az [[ábrázoló geometria]].
== Szerkesztő eszközök ==
A tiszta geometriai megoldás az eredmény '''elvi megalkotását''' kívánja meg. A gyakorlati feladatoknál az eredmény '''anyagi reprezentációját''' is megkövetelhetik. (<small>Egy alkatrésznek nem csupán a rajzára, de magára a munkadarabra is szükség van</small>.) Éppen ezért a gyakorlat számára minden módszer megengedett: ''a cél szentesíti az eszközt''. Az ókori görög matematikusok az elméleti feladatok megoldására is használtak többféle eszközt a körző és a vonalzó mellett. A kioszi [[Oinopidész]] tankönyvében (i.e. 450 k.) még bőven találunk ilyen szerkesztéseket.
=== Platóni elmélet ===
Az i.e. 4. században a görög tudomány fő irányzatát adó [[Platón]] a geometriai szerkesztéseket csoportosítja a megoldáshoz felhasznált eszközök szerint :
* 1. A csak egyélű vonalzót és körzőt használó,
* 2. – ezen kívül valamilyen kúpszelet ívet használó,
* 3. – még valamilyen eszközt használó
szerkesztések. A rangsor a [[Platón]]-i '''ideák''' elméletének megfelelően az ''absztrakt és nemes'' –től indul, a ''mechanikus és földi'' –nél végződik. (<small>Megjegyzi még, hogy csak a körzőt tekinti „ideális” eszköznek.)</small>
=== Eukleidész és az Elemek ===
Platón után egy évszázaddal [[Eukleidész]] az [[Elemek]]-ben már teljesen mellőzi a körző és a vonalzó mellett más eszközök használatát. Ezért nevezzük ezeket a szerkesztéseket [[euklideszi szerkesztés]]nek. Noha [[Eukleidész]] munkája az i.e. 3. századot követően etalon volt egészen [[Bolyai János|Bolyai]] és [[Lobacsevszkij]] fellépéséig, az ókori matematikusok még [[Eukleidész]] után is használtak meg nem engedett eszközöket utolsó mentségként.
== Nemeuklideszi szerkesztések ==
=== Korlátozott eszköz használat és véges rajzfelület ===
Az elméleti feladatok klasszikus körzős-vonalzós megoldásánál feltesszük, hogy a vonalzó tetszőlegesen hosszú, s így bármilyen pontpár távolságát áthidalhatja. E feltétel nélkül nem lehetne igaz [[Eukleidész]] 1. posztulátuma: „''…minden pontból minden pontba egyenes húzható''”. Ugyanígy feltesszük, hogy a körző akármilyen nagyra és akármilyen kicsire kinyitható.
A szerkesztések elmélete foglalkozik azokkal a feladatokkal, amelyek véges vonalzóval, illetve minimális és maximális nyílású körzővel végezhetők el. Hasonlóan találkozhatunk olyan feladatokkal, amikor a rajzlapon kívülre esnek a szerkesztésnél felhasználandó elemek.
=== Kevesebb eszköz ===
Az euklideszitől való eltérés másik útja az egyik eszköz mellőzése. Bebizonyították, hogy minden euklideszi szerkesztés elvégezhető
* csak körzővel. ([[Mohr]]–[[Mascheroni]] szerkesztés);
* csak vonalzóval, ha adott egy tetszőleges kör ([[Poncelet]]–[[Steiner]] szerkesztés).
30. sor:
Az első esetben egy egyenest két pontjával „szerkesztünk” meg, míg a második esetben egy kört három pontjával, vagy egy pontjával és a centrumával. A kapott alakzatok megrajzolása csupán láthatóvá teszi a végeredményt.
=== Több eszköz ===
Még az euklideszi kritériumok közelében maradunk, ha megengedünk néhány '''összetett vonalzót''' a körzővel és vonalzóval is elvégezhető lépések egyszerűsítésére. Ilyen az L alakú ''derékszög-vonalzó'', a kétféle ''háromszög-vonalzó'' és a rajztábla tartozéka a ''fejesvonalzó''. Az ókori görög geométerek részben hasonló célú eszközökkel, részben a körzővel-vonalzóval megoldhatatlan feladatokra specializált eszközökkel is dolgoztak. Ilyen eszközök később is készültek:
* '''neuszisz vonalzó''', a [[neuszisz szerkesztés]] elvégzésére. Eredete, feltalálója ismeretlen, i.e. 6. században már használták.
* '''konhoisz körző''' a [[neuszisz szerkesztés]]hez, [[Nikomédész]] (i.e.240 k.) találmánya a [[konhoisz]] megrajzolására.
* '''ellipszis körzők''' egyike [[Leonardo da Vinci]] (1500 k.) konstrukciója.
* '''cisszoisz körző'''t a [[Dioklész (matematikus)]]-féle [[cisszoisz]] rajzolására [[Isaac Newton|Newton]] (1700 k.) készített.
* '''kúpszelet körző''' [[W. Jörges]] készüléke. Bármilyen kúpszelet rajzolására alkalmas .
=== Papírhajtogatás ===
A Japánban művészetként is művelt [[origami]] alkalmas sok (de nem minden) euklideszi, valamint néhány megoldhatatlan euklideszi feladat elvégzésére.
== Négy klasszikus probléma ==
Az ókori görög geometria az utókorra hagyta részben megoldatlanul az alábbi négy szerkesztési feladatot. Néhány esetben találtak olyan ''' nemeuklideszi''' megoldást, melyhez a körzőn és a vonalzón kívül más görbé(ke)t és/vagy eszköz(öke)t használtak. Az utódok csak sokára tudtak felelni a kihívásra, s kimutatták, hogy a keresett megoldások nem is léteznek. A négy megoldatlan – megoldhatatlan ókori szerkesztési feladat:
=== A kocka kettőzése ===
[[Kockakettőzés|Déloszi probléma]], azaz olyan kocka élét kell megszerkeszteni, amelyik egy adott kocka térfogatának kétszerese. Legkorábban a [[khioszi Hippokratész]] (i.e.430) foglalkozik vele, de gyökerei [[Babilon]]ba nyúlnak vissza. (Általánosabban a kockát adott arányban kell megnövelni.)
=== A szög harmadolása ===
[[Szögharmadolás|Trisectio]], azaz tetszőleges szög harmadrészének megszerkesztése. Először [[Arkhimédész]] (i.e.250 k.) adott rá megoldást [[neuszisz szerkesztés]]sel. Később [[Papposz]] (i.sz. 320 k.) megsejtette, hogy a feladat megoldhatatlan, amit [[Pierre Wantzel|Wantzel]] (1836) bizonyított be. (Általánosításai: (1)- tetszőleges szög akárhány egyenlő részre osztása; (2)-tetszőleges szög adott arányban való felosztása.)
=== A kör négyszögesítése ===
{{
Adott sugarú körrel egyező területű négyzet oldalának megszerkesztése (vagy a kör kerületével megegyező szakasz szerkesztése, a ''körvonal kiegyenesítése''). [[Arisztophanész]] a '''Madarak''' c. színművében (i. e. 414) tesz róla említést az egyik szereplő. A probléma algebrai megfelelője a [[Ludolph van Ceulen|Ludolph]]-féle szám, a <math>pi</math> kiszámítása. A végleges megoldást [[Ferdinand von Lindemann|Lindemann]] (1880) adta meg, bebizonyítva, hogy a <math>pi</math> [[irracionális]].
=== A körosztás ===
{{
Adott körbe írható tetszőleges oldalszámú szabályos sokszög szerkesztése. [[Eukleidész]]nél több szabályos sokszög szerkesztése szerepel (3, 4, 5, 6, 15), de a görögök nem tudták a szabályos 7-szöget megszerkeszteni. [[Gauss]] találta meg a 17-szög szerkesztését (1796), majd [[Wantzel]]lel közösen mutatták meg, hogy melyek a körzővel-vonalzóval megszerkeszthető sokszögek: a 7-szög nem ilyen.
== Forrás ==
* Courant – Robbins: Mi a matematika? (Gondolat, 1966)
* Dörrie, Heinrich: A diadalmas matematika (Gondolat, 1965)
* Hajós György: Bevezetés a geometriába (Tankönyvkiadó, 1960)
* Ribnyikov, K.A.: A matematika története (Tankönyvkiadó, 1968)
* Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)
* Strathern, Paul: Arkhimédész (Elektra Alkotóház, é.n.)
* Waerden, B.L.: Egy tudomány ébredése (Gondolat, 1977)
* Szökefalvi-Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete (Akadémiai Kiadó, 1968)
[[Kategória:Geometria]]
|