„Medián” változatai közötti eltérés

6 bájt hozzáadva ,  12 évvel ezelőtt
a
kisebb formai javítások
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
a (Bot: következő hozzáadása: io:Mediano)
a (kisebb formai javítások)
A '''medián''' a [[matematikai statisztika]] egy nevezetes [[középérték]]e. A medián a [[kvantilisek]] közül a legegyszerűbb, vagyis [[statisztika]]i sokaságot kétfelé vágó érték. Ahhoz, hogy mediánt számíthassunk a populáció egy ismérvére vonatkozóan, az ismérvnek legalább számértékű, ordinális [[mérési szint]]űnek kell lennie.
 
Az ''x'' valószínűségi változó mediánját <math>\tilde{x}</math> vagy <math>\mu_{1/2}(x)\,\!.</math> jelöli.<ref> http://mathworld.wolfram.com/StatisticalMedian.html </ref>
 
[[Véges]] sok elem (egy véges populáció) '''mediánján''' a következőt értjük:
* Ha [[Páros és páratlan számok|páratlan]] elemszámú a sokaság, akkor a medián az értékek rendezett sokaságában a középső elem.
* Ha [[Páros és páratlan számok|páros]], akkor a rendezett [[minta]] két középső elemének [[számtani közép|számtani közepe]].
 
Érdemes megjegyezni, hogy páros sok tagú populáció mediánját néha úgy definiálják, hogy megadják külön az alsó és a felső mediánt, egyes szerzők szerint pedig a medián [[nem definiálható]] ilyen esetben.
::{|
|1||2||5||4||3||1||4||3||3||4||3||5||1
|}
:A rendezett sokaság:
::{|
::{|
|1||4||2||4||2||3||5||3||1||1
|}
:A rendezett sokaság:
::{|
 
A medián [[minimáltulajdonság]]a: Ha x-nek létezik várható értéke, akkor az |x-c| várható értéke akkor minimális, ha c=μ (a medián): M(|x-c|)>=M(|x-μ|)
== Magasabb dimenzióban ==
A több dimenziós statisztikában az
:<math>E(\left|X-c\right|)</math>
 
minimalizáló ''c'' vektorát ''centroidnak'' is nevezik,<ref name="Centroid">{{Citation | last1=Carvalho | first1=Luis | last2=Lawrence | first2=Charles | title=Centroid estimation in discrete high-dimensional spaces with applications in biology | doi=10.1073/pnas.0712329105 | year=2008 | journal=Proc Natl Acad Sci U S A | volume=105 | issue=9 | pages=3209-3214}}</ref> ahol <math>E(\left|X-c\right|)</math> egy adott [[norma|normában]] értendő. Ez megfelel az egy dimenziós eset [[abszolútérték-függvény|abszolútértékének]]. A centroid szót azonban más jelentésben is használják.
 
Ha a centroidot az eloszlás egy leszűkítésére veszik, akkor ''medioidnak'' hívják. Ez a ponthalmaz származhat például egy másik eloszlásból.
== Alkalmazása ==
A kilógó adatokkal szembeni kis érzékenysége miatt jobban jellemzi a nem [[normális eloszlás]]okat, mint az átlag, vagy a [[várható érték]].
 
A képfeldolgozásban a [[monokróm]] [[bitkép]]eken gyakran látható egy zajféleség, amiben minden pixel a szomszédoktól függetlenül egy adott kis valószínűség szerint lesz fehér, egy hasonlóan kis valószínűséggel lesz fekete, és egy egyhez közeli valószínűséggel változatlan marad. Az efféle [[zaj]] jól csökkenthető az adott pixelből és szomszédjaiból (3 x 3-as négyzet) kapott medián használatával.
 
== Alternatívái ==
A medián egy alternatívájaként Amartya Sen bevezette a jólléti függvényt a jövedelmek eloszlásának vizsgálatára.
== Általánosítása ==
A medián helyett ''n''-kvantilisek is használhatók, amik az alapsokaságot ''n'' egyenlő részre osztják. A medián a második kvartilis, az ötödik decilis, és az ötvenedik percentilis.
 
Néhány kvantilisnek latin eredetű önálló neve van:
* 3-kvantilisek: tercilisek
* 4-kvantilisek: kvartilisek
* 5-kvantilisek: kvintilisek
* 9-kvantilisek: nonilisek
* 10-kvantilisek: decilisek
* 12-kvantilisek: duodecilisek
* 20-kvantilisek: vigintilisek
* 100-kvantilisek: percentilisek
 
Általánosabban, az eloszlásfüggvény inverzét nevezik az adott eloszlás kvantilisfüggvényének.
 
== Története ==
Gustav Fechner népszerűsítette a medián használatát a formális adatelemzésben, bár korábban Laplace már használta.<ref name="keynesProb">Keynes, John Maynard; ''A Treatise on Probability'' (1921), Pt II Ch XVII §5 (p 201).</ref>
== Lásd még ==
{{források}}
* R.J. Serfling. ''Approximation Theorems of Mathematical Statistics''. John Wiley & Sons, 1980.
* [http://www.universityofcalifornia.edu/senate/inmemoriam/georgewbrown.htm Brown, George W.] ”On Small-Sample Estimation.” ''The Annals of Mathematical Statistics'', Vol. 18, No. 4 (Dec., 1947), pp. 582&ndashnbsp;585582–585.
* [[Erich Leo Lehmann|Lehmann, E. L.]] “A General Concept of Unbiasedness” ''The Annals of Mathematical Statistics'', Vol. 22, No. 4 (Dec., 1951), pp. 587&ndashnbsp;592587–592.
* [[Allan Birnbaum]]. 1961. “A Unified Theory of Estimation, I”, ''The Annals of Mathematical Statistics'', Vol. 32, No. 1 (Mar., 1961), pp. 112&ndashnbsp;135 112–135
* van der Vaart, H. R. 1961. “Some Extensions of the Idea of Bias” ''The Annals of Mathematical Statistics'', Vol. 32, No. 2 (Jun., 1961), pp. 436&ndashnbsp;447436–447.
* {{cite book|title=Parametric Statistical Theory | last1=Pfanzagl | first1=Johann
|authorlink= <!-- Johann Pfanzagl -->
|last2=with the assistance of R. Hamböker
|year=1994|
|publisher=Walter de Gruyter
{{csonk-dátum|csonk-mat|2005 februárjából}}
{{Portál|matematika}}
== Külső linkek ==
* Python-szkript [http://www.umverteilung.de/oei/#GiniHooverTheil a medián kiszámítására]
* [http://diegeodaeten.de/least-median-square.html Példa a medián robusztusságának kihasználására]
 
<!-->>Valszám>>Matstat-->
 
{{DEFAULTSORT:Median}}
 
[[Kategória:Középértékek]]
[[Kategória:Valószínűség-számítás]]
131 512

szerkesztés