„Nemeuklideszi geometria” változatai közötti eltérés

 

== A nemeuklideszi párhuzamosság ==

[[Bolyai János|Bolyai]] és [[Lobacsevszkij]] a párhuzamost egy külső pont körül forgatott szelők határhelyzeteként definiálják. Az <math>AM</math> egyenesen kívül fekvő <math>B</math> pont körül forgatott egyenesek közül az a <math>BC</math> párhuzamos az <math>AM</math>-mel, amelyik '''elpattan tőle'''. Más fogalmazásban a forgatott egyenesek közül a párhuzamos az '''első nem metsző'''. [[Bolyai János|Bolyai]] ezt a párhuzamost ''aszimptotikus párhuzamosnak'', vagy egyszerűbben ''aszimptotának'' nevezte.<ref><A történeti hűséghez tartozik, hogy Lobacsevszkij és Bolyai szemlélete között a lényeget nem érintő eltérés van: Lobacsevszkij a külső ponton átmenő egyenesek két osztályát – a metszőkét és a nem-metszőkét – elválasztó két egyenest nevezi párhuzamosnak, míg Bolyai a külső pontból induló félegyenesekről és ezek forgatásáról beszél.></ref>

 

Mivel a forgatott egyenes egyre távolabb metszi az <math>AM</math> egyenest, kísérlettel nem lehet eldönteni, hogy mikor, az <math>\alpha</math> szög milyen értékénél következik be ez az elpattanás. A két kutató ezt a szöget a '''párhuzamosság szögének''' nevezte. Mindketten eljutottak annak felismeréséig, hogy a párhuzamossági szög a <math>B</math> pont és az <math>AM</math> egyenes közötti távolsággal összefüggésben van: <math>\Pi (a)</math>. Kettejük munkája között csupán annyi a lényeges különbség, hogy [[Lobacsevszkij]] a definíciót követően szétválasztja a két lehetséges esetet és az euklideszitől eltérő '''hiperbolikus geometria''' tételeit, míg [[Bolyai János|Bolyai]] a két esetet együtt kezelve a kétféle geometria közös részét, az '''abszolút geometria''' tételeit dolgozta ki. Az az eredmény is közismert, hogy a háromszögek szögeinek összege is aszerint egyenlő vagy kisebb két derékszögnél, hogy a síkja euklideszi vagy hiperbolikus.

 

 

A hiperbolikus elnevezést a párhuzamos egyenes és a hiperbola rokonítása magyarázza. E geometriában a párhuzamosok közötti távolság csökken, aszimptotikusan közelednek egymáshoz. Ugyancsak fontos különbséget jelent, hogy a balra forgatott egyenes által meghatározott párhuzamos nem azonos a jobbra forgatottal. Ez ellentmond az idézett I.23. definíciónak.

 

== Egy harmadik párhuzamosság ==

 

Az [[párhuzamossági axióma|5. posztulátum]] elhagyásával kapott maradék axiómákból következik (bizonyítható), hogy a párhuzamosság szöge nem lehet [[derékszög]]nél nagyobb, s ennek következménye, hogy a háromszögek szögeinek összege sem lehet két derékszögnél nagyobb. A paralellákkal foglalkozó [[Gerolamo Saccheri]] (1667-1733) és [[Johann Heinrich Lambert]] (1728-1777) eljutottak egy olyan felismerésig, hogy ezt a lehetőséget sem szabad elvetni. Meg kell vizsgálni olyan geometriai rendszerek lehetőségét is, amelyekben a szögösszeg nagyobb <math>2\pi</math>-nél. Mivel ez a maradék axiómáknak ellentmond, további axiómá(ka)t kell megváltoztatni, elhagyni vagy másokkal helyettesíteni.

 

== A három geometria összevetése ==

 

'''Felix Klein'''től [1849–1925] származik a háromféle geometria és a kúpszeletek nomenklatúrájának összekapcsolása, mely ez utóbbiak ideális pontjainak száma és az egyeneshez külső pontból húzható párhuzamosok száma közötti analógiára utal.

 

== Még több geometria ==

 

[[Arthur Cayley]] (1821-1895) korábbi kutatásaira támaszkodva [[Felix Christian Klein|Felix Klein]] hívta fel a figyelmet arra, hogy a három [[geometria]] az [[egyenes]]en három eltérő metrikát használ: (A. ábra)

* A hiperbolikus metrika az <math>X</math> és <math>Y</math> alappontokkal alkotott [[kettősviszony]]t használja: <math>d_h(AB) = k\cdot\ln (ABXY)</math>.

 

 

A pontsor analógiájára definiálható a sugársorok metrikája, a szögmérés (B. ábra):

A síkban a lehetséges geometriák úgy adódnak, hogy választunk egy szakasz–metrikát és egy szög–metrikát, tehát 3´3 = 9 síkbeli geometriai rendszert konstruálhatunk. (A térben ezekhez még a lapszögek metrikáját kell csatolnunk, s ezzel 3´3´3 = 27 féle geometriai rendszert választhatunk.) A következő táblázat mutatja a lehetséges síkgeometriákat:

 

 

Ezeknek a síkgeometriáknak a "létezését" modellek segítségével lehet igazolni. Ezekben a modellekben az egyenesek és/vagy a pontok szerepét más alakzatok veszik át. A véges modellek használata vezetett a [[véges geometriák]] megalkotásához.

[[de:Nichteuklidische Geometrie]]

[[es:Geometría no euclidiana]]

[[fi:Epäeuklidinen geometria]]

[[fr:Géométrie non euclidienne]]