„Uniform tér” változatai közötti eltérés

→‎Teljesség: teljes uniform terek
(Teljesség: Cauchy-szűrők bevezetése)
(→‎Teljesség: teljes uniform terek)
Ahogy a folytonos függvények megtartják a topologikus tulajdonságokat (nyílt, zárt, kompakt, összefüggő), úgy az egyenletesen folytonos függvények megőrzik az uniform struktúrát. A két uniform struktúra közötti izomorfizmusokat uniform izomorfizmusoknak nevezzük.
==Teljesség==
A teljes metrikus terek alapján bevezethetők a teljes uniform terek. Ehhez Cauchy-sorozatok helyett ''Cauchy-szűrőket'' használnak.
 
Az ''F'' szűrő '''Cauchy-szűrő''' az ''X'' uniform térben, ha minden ''U'' uniform fedéshez van ''A''∈''F'', hogy ''A''×''A'' ⊆ ''U''. Más szavakkal, egy szűrő Cauchy, ha tartalmaz akármilyen kis méretű halmazokat. A definícióból következik, hogy minden konvergens szűrő Cauchy. Egy Cauchy-szűrő minimális, ha nem tartalmaz durvább Cauchy-szűrőt. Megmutatható, hogy minden Cauchy-szűrő egyértelműen tartalmaz minimális Cauchy-szűrőt; minimális Cauchy-szűrők esetén ez önmaguk. Például az egyes pontok összes környéke minimális Cauchy-szűrő.
 
Megfordítva, egy uniform tér teljes, ha az összes benne levő Cauchy-szűrő konvergens. Minden kompakt Hausdorff-tér teljes metrikus tér teljes uniform tér is a topológiájához illeszkedő uniform struktúrájával.
 
Legyenek ''X'' és ''Y'' uniform terek, és ''Y'' ezen kívül még teljes is. Jelölje ''A'' ''X'' egy sűrű részhalmazát! Ekkor az f: A → Y egyenletesen folytonos függvények egyértelműen kiterjeszthetők az egész ''X'' uniform térre.
 
A teljes uniformizálható terek azok a topologikus terek, amik a topológiájukhoz illeszkedően teljes uniform térré tehetők.
 
Az ''F'' szűrő Cauchy-szűrő az ''X'' uniform térben, ha minden''U'' uniform fedéshez van ''A''∈''F'', hogy ''A''×''A'' ⊆ ''U''. Más szavakkal, egy szűrő Cauchy, ha tartalmaz akármilyen kis méretű halmazokat. A definícióból következik, hogy minden konvergens szűrő Cauchy. Egy Cauchy-szűrő minimális, ha nem tartalmaz durvább Cauchy-szűrőt. Megmutatható, hogy minden Cauchy-szűrő egyértelműen tartalmaz minimális Cauchy-szűrőt; minimális Cauchy-szűrők esetén ez önmaguk. Például az egyes pontok összes környéke minimális Cauchy-szűrő.
==Források==
* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie''. 3. kiadás Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-09799-6