„Test (algebra)” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Résztest, testbővítés: algebrai és transzcendens bővítések |
|||
64. sor:
Test és résztestének karakterisztikája egyenlő. A bővebb ''F'' test a ''K'' fölött [[vektortér|lineáris teret]] (sőt, [[Algebrai struktúra|algebrát]]) alkot a testműveletekkel; a testbővítés ''fokának'' nevezzük e vektortér dimenzióját.
Az ''F'' bővebb test egy eleme ''algebrai'' ''K'' fölött, ha gyöke egy nem konstans nulla ''K''-beli együtthatós polinomnak; egyébként ''transzcendens''. Például a π szám transzcendens a racionális számok teste felett. Algebrai elemmel bővítve algebrai, transzcendens elemmel bővítve transzcendens bővítéshez jutunk. Ha egy bővítés foka véges, akkor algebrai bővítésről van szó. Véges sok algebrai elemmel való bővítés helyettesíthető egy algebrai elemmel való bővítéssel; ekkor a testbővítés foka megegyezik az adott algebrai elem [[minimálpolinom]]jának a fokával, amit az adott elem fokának is neveznek.
A résztestek és testbővítések témájával a nevezetes [[Galois-elmélet]] foglalkozik. A Galois-elmélet nevezetes alkalmazásai a szerkeszthetőségi feladatok, és az algebrai egyenletek megoldása gyökjelekkel. Így lehet bebizonyítani, hogy például mely szabályos sokszögek szerkeszthetők, és hogy a három klasszikus probléma: a kockakettőzés, a szögharmadolás, és a körnégyszögesítés megoldhatatlan. Továbbá a Galois-elmélettel belátható, hogy csak az első-, a másod-, a harmad- és a negyedfokú egyenleteket lehet mindig megoldani gyökvonások segítségével; csak ezekre létezik megoldóképlet.
| |||