„Művelet” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Bot: következő hozzáadása: pt:Operação (matemática) |
a kisebb formai javítások |
||
1. sor:
A '''művelet''' a [[matematika|matematikában]] általában speciális [[függvény (matematika)|függvényt]] jelent. Nemcsak a matematika, de az [[informatika]] és más tudományágak is építenek erre a fogalomra, a műveletfogalommal magával azonban a matematika [[algebra]] nevű ága foglalkozik, mely utóbbit úgy is meghatározhatnánk, mint a műveletek elméleti, matematikai vizsgálatát, tudományát.
Általában a „művelet” szóval rokon értelemben (néha azonban tágabb vagy részlegesebb fogalmat jelölve) használjuk az ''összekapcsolás'' és az ''operáció'' vagy ''[[operátor (matematika)|operátor]]'' szavakat is.
7. sor:
Amikor a hétköznapi életben matematikai műveletről beszélünk, általában ezt a fogalmat, a belső művelet fogalmát értjük alatta (különösen pedig a kétváltozós belső műveletét).
'''Definíció.''' Legyen adott az A [[halmaz]]. Az A halmazon értelmezett – avagy az A halmaz feletti – belső (vagy homogén) n-változós (vagy n-áris, n∈[[természetes számok|ℕ]]<sup>+</sup>) műveleten egy
<center><math> \mu: A^n\rightarrow A</math> </center>
leképezést értünk; ahol <math> \mbox{ }_{ A^n \ := \ \begin{matrix} \underbrace{ \mbox{ }_{ A \times A \times ... \times A } } \\ \mbox{ }_{ \mbox{n-szer} } \end{matrix} } </math>, vagyis az A halmaz önmagával vett n-szeres [[Descartes-szorzat]]a.
A definícióba tehát beleértjük, hogy '''a művelet mint függvény értelmezési tartománya A<sup>n</sup>''' (D(μ) = A<sup>n</sup>), azaz ''mindegyik'' x∈A<sup>n</sup> elem-n-esre értelmezve kell hogy legyen a μ(x) függvényérték.
18. sor:
μ(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>n</sub>) = a<sub>n+1</sub> esetén az a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>n</sub> elemeket a μ művelet '''argumentum'''ainak vagy '''operandus(z)'''ainak (tényezők, tagok, koordináták) nevezzük; míg magát az a<sub>n+1</sub>∈A elemet a μ művelet ezen argumentumokon vett '''eredmény'''ének, vagy értékének.
A művelet neveként alkalmazott szimbólumot (itt: μ) '''műveleti jel'''nek (vagy, inkább az informatikában, mint a matematikában) [[operátor]]nak is nevezzük (az „operátor” szó a matematikában mást is jelenthet, ld. [[operátor (matematika)]]).
Az A halmazon értelmezett n-változós műveletek halmaza épp az <math>A^{A^{n}}</math> [[hatványhalmaz]].
=== Speciális esetek ===
35. sor:
==== Kétváltozós művelet ====
{{
A „matematikai művelet” fogalmának leggyakrabban előforduló típusa a kétváltozós/bináris (avagy binér) belső művelet, röviden kétváltozós művelet.
47. sor:
==== Háromváltozós művelet ====
{{
'''Háromváltozós''' avagy '''ternáris''' művelet egy A<sup>3</sup> → A alakú függvény, azaz az A-n értelmezett háromváltozós A×A×A↦A alakú függvény. Ritkábban ugyan, de ezek is fontosak a matematikában.
66. sor:
=== Belső műveletek írásmódjai ===
{{
Többféle megállapodás, hagyomány alakult ki a matematikában az idők során az n-változós belső műveletek jelölésére (a ''prefix'', ''infix'', ''index'' stb. írásmódok). Ezeket a [[műveleti jel]] szócikkben, illetve saját szócikkeikben tárgyaljuk.
72. sor:
== Külső művelet ==
Legyen adott két [[diszjunktság|diszjunkt]] halmaz, az O (ún. '''operátortartomány''') és az A ('''alaphalmaz'''); tehát O∩A = [[üres halmaz|∅]]. Az A halmazon értelmezett – avagy az A halmaz feletti – n-változós (vagy n-áris, n∈ℕ<sup>+</sup>) '''külső''' (vagy inhomogén) '''művelet'''en egy
<center> <big><big> μ: (0<sup>n</sup>×A)↦A</big></big> </center>
leképezést értünk; ahol <math> \mbox{ }_{ O^n \ := \ \begin{matrix} \underbrace{ \mbox{ }_{ O \times O \times ... \times O } } \\ \mbox{ }_{ \mbox{n-szer} } \end{matrix} } </math>.
Az O halmaz elemeit '''operátor'''oknak szokás nevezni.<ref>Ahogy fentebb említettük, ezt a kifejezést a matematikában több másra is alkalmazzák, ld. [[operátor (matematika)]])</ref> Legyen ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub>, …, ω<sub>n</sub>∈O és a<sub></sub>∈A, ekkor a b<sub></sub> =μ(ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub>, …, ω<sub>n</sub>,a)∈A elemet a μ külső művelet '''eredmény'''ének nevezzük.
80. sor:
A „külső” jelzőt azért kell alkalmazni, mert léteznek [[#Belső művelet|belső műveletek]] is, sőt általában csak az utóbbiakat nevezzük egyszerűen „művelet”-nek. Az operátortartomány elemeit gyakran – hagyományosan – görög kisbetűkkel jelölik.
Az A halmazon értelmezett n-változós külső műveletek halmaza épp az <math>A^{O^{n} \times A}</math> halmaz (ld. [[halmaz hatványa]]).
=== Speciális esetek ===
| |||