„Riemann-integrálás” változatai közötti eltérés

a
kisebb formai javítások
(Forrás hiányzik)
a (kisebb formai javítások)
 
=== Parciális integrálás ===
{{Bővebben|Parciális integrálás}}
A vizsgált intervallumon folytonosan differenciálható ''f'' és ''g'' függvények esetén
 
 
Parciálisan integrálhatók például a sin<sup>''n''</sup>'' x,'' cos<sup>''n''</sup>'' x,'' e<sup>''x''</sup>sin<sup>''n''</sup> x és e<sup>''x''</sup>cos<sup>''n''</sup> x függvények, továbbá ''P(x)'' valós polinomfüggvény esetén parciálisan integrálható:
* <math>P(x)\,e^x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=e^x</math>&nbsp; választással;
 
* <math>P(x)\ln x\qquad f(x)=\ln x,\ g'(x)=P(x)</math>&nbsp; választással;
 
* <math>P(x)\sin x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=\sin x</math>&nbsp; választással;
 
* <math>P(x)\cos x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=\cos x</math>&nbsp; választással;
 
* <math>P(x)\,\mathrm{arc\,sin}\;x\qquad f(x)=\mathrm{arc\,sin}\;x,\ g'(x)=P(x)</math>&nbsp; választással;
 
* <math>P(x)\,\mathrm{arc\,tg}\;x\qquad f(x)=\mathrm{arc\,tg}\;x,\ g'(x)=P(x)</math>&nbsp; választással.
 
=== Helyettesítéses integrálás ===
{{Bővebben|helyettesítéses integrálás }}
A vizsgált intervallumon folytonos ''f'' és folytonosan differenciálható ''g'' függvény esetén, ha ''F'' = ∫ ''f(x)'' dx, akkor
 
<center><math>\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C</math></center>
 
A négy alapműveleten kívül gyökvonást vagy törtkitevőt is tartalmazó irracionális kifejezések integrálása a megfelelő helyettesítéssel sok esetben szintén visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására. A legfontosabb esetek a következők:
* <math>R(x,\sqrt{a^2-x^2})</math> alakú kifejezés integrálása <math>\frac{x}{a}=\sin t</math> helyettesítéssel;
 
* <math>R(x,\sqrt{a^2+x^2})</math> alakú kifejezés integrálása <math>\frac{x}{a}=\sinh t</math> helyettesítéssel;
 
* <math>R(x,\sqrt{x^2-a^2})</math> alakú kifejezés integrálása <math>x\geq0</math> esetén <math>\frac{x}{a}=\cosh t</math>, illetve <math>x\leq0</math> esetén <math>\frac{x}{a}=-\cosh t</math> helyettesítéssel;
 
* <math>R(x^\frac{p_1}{q_1},\dots,x^\frac{p_n}{q_n})</math> alakú kifejezés integrálása <math>\,x=t^q</math> helyettesítéssel, ahol <math>\,q</math> a kitevők <math>q_1,\dots,q_n</math> nevezőinek [[legkisebb közös többszörös]]e.
 
==== Az [[Euler]]-féle helyettesítések ====
131 512

szerkesztés