„Russell-paradoxon” változatai közötti eltérés

[[Bertrand Russell]] [[1901]]-ben felfedezte fel, hogy a matematika akkori naív halmazelméleti és logikai megalapozása a róla elnevezett '''Russell-paradoxon''' ellentmondást is tartalmazza. E paradoxon működési mechanizmusa ekvivalens a két évvel korábbi [[Cantor-paradoxon]] mechanizmusával, de a korábbival ellentétben már azt mutatja, hogy menthetetlenül kijavításra szorul a [[Georg Cantor|Cantor]] és [[Friedrich Ludwig Gottlob Frege|Frege]] által megalkotott [[naiv halmazelmélet]] és formalizált logikai.<ref>Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 136. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8</ref> A századfordulón jelentkező paradoxonok hatására, mintegy két- három évtized alatt, a mai szemmel megnyugtatónak tekintett alapokra helyezték az egész matematikát. E folyamat elhúzódott, mert a geometria Hilbert-féle megalapozása a huszas évekig, és a valószínűségszámítás Kolmogorov-féle megalapozása a harmincas évekig váratott magára.

A '''Russell-paradoxon''' olyan érvelést használ, amelyhez hasonlóak tulajdonképp már több ezer éve ismertek voltak (ld. [[Epimenidész-paradoxon]]). Azt, hogy a paradoxonhoz vezető érvelés a halmazelmélet ill. logika matematikai elméletének ellentmondásosságát okozhatja, többen is felfedezték a tizenkilencedik század végén; például [[Ernst Zermelo]] matematikus és [[Bertrand Russell]] filozófus.

Egy <math>S</math> halmazt nevezzünk tartalmazkodónak, ha elemként tartalmazza önmagát, azaz <math>S \in S</math>. Már a naív halmazelméletben is, az ''elemének lenni'' viszony tetszőleges két halmazra egyértelmű tény. Ezért tetszőleges <math>S</math> halmaz vagy tarartalmazkodó, vagy nem, hiszen <math>S \in S</math> vagy igaz, vagy hamis.

Ha valami minden <math>S</math> halmazra igaz, akkor igaz konkréten az <math>S=R</math> halmazra is, de ekkor a következő ellentmondást kapjuk, ha az <math>S=R</math> konkretizálásnak megfelelően mindenhová beírjuk az általános <math>S</math> helyére a konkrét <math>R</math> halmazt. Íme:

# Tegyük fel, hogy ''igen,'' <math>R \in R</math>. Ekkor ''R'' nyilvánvalóan ''nem olyan halmaz,'' ami nem tartalmazza saját magát, tehát definíció szerint ''nem eleme ''R''-nek,'' azaz önmagának, más szóval <math>R \not\in R</math>, ellentmondásra jutottunk.

Laikusok számára is könnyen megérthető a paradoxon, ha absztrakt matematikai jelölés helyett szemléletesen magyarázzuk el. Erre tesznek kísérletet az alábbi variációk:

Mármost mit tegyen az a szerkesztőbrigád, amelyik az összes, önmagát nem tartalmazó katalógust listázza, vagyis „Az önmagukat nem tartalmazó katalógusok katalógusát”? Nevezzük ezt a katalógust A-nak. Előbb-utóbb a csoportnak el kell döntenie, magát az A-t beleírja-e az A katalógusba. Ha beleírják, akkor a katalógus tartalmazni fogja önmagát, tehát nem lesz „önmagát nem tartalmazó”, és így törölni kell az A-ból. Ha viszont nem írják bele, a katalógus önmagát nem fogja tartalmazni. Ekkor viszont (mivel minden, önmagát nem tartalmazó katalógusnak be kell kerülnie e katalógusba) mégis bele kell írni a katalógusba, és így ott vagyunk, ahol az előbb.

Színezzünk a halmazokat két színnel. Legyenek '''pirosak''' a rendes halmazok, amelyek ''nem tartalmazzák saját magukat.'' Piros halmaz tehát a teásbögrék halmaza, a XIII. kerületi Radnóti Miklós utcai általános iskola III.b osztályának fiú tanulóinak halmaza, a 3&nbsp;cm-nél rövidebb balmenetes réz facsavarok halmaza stb., mivel maguk a halmazok természetesen nem teásbögrék, fiú tanulók vagy facsavarok.

Legyenek '''kékek''' a rendetlen halmazok, amelyek ''tartalmazzák saját magukat.'' Erre már nehezebb példát találni, de nem lehetetlen, gondoljunk például a fenti, „Száz betűnél nem hosszabb című könyvek” katalógusára, vagy a [[Műszaki és Természettudományi Egyesületek Szövetsége|Műszaki és Természettudományi Egyesületek Szövetségére]], a MTESZ-re [http://www.mtesz.hu], amely maga is műszaki és természettudományi egyesület lévén tagja (vagy tagja lehetne) önmagának.

Ha ez eddig világos, akkor képzeljük el, hogy valaki összegyűjti az összes piros halmazt (a fenti három példával együtt) egy nagy könyvbe. Ez a könyv persze nagyon vastag lesz (tkp. végtelenül vastag), de ezzel most ne foglalkozzunk. A nagy kérdés, hogy a könyv által felsorolt halmazok halmaza milyen színű.

# Tegyük fel, hogy piros, eszerint tehát benne van a könyvben. Ha viszont benne van a könyvben, akkor benne van a könyvben felsorolt halmazok halmazában is, azaz önmagában. Ha viszont tartalmazza önmagát, akkor kéknek kell lennie. Ellentmondás.

# Tegyük fel, hogy kék, tehát tartalmazza saját magát, azaz eleme a könyv által felsorolt halmazok halmazának (saját magának). Ebből következik, hogy benne van a könyvben, akkor viszont kénytelen piros lenni, mert a könyvben csak piros halmazok vannak leírva. Ismét ellentmondás.

Az első választ a paradoxonra maga Russell adta. Munkatársával, [[Alfred North Whitehead]] segítségével kidolgoztak egy alternatív halmazelméletet a [[Principia Mathematica]] című munkájukban (amely nevét [[Isaac Newton]] hasonló című munkájáról, a [[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica]]-tól kölcsönözte), ez a '''tipizált halmazelmélet''', vagy [[típuselmélet]]. Ez lehetővé teszi az összes addig ismert halmazelméleti és matematikai eredmény levezetését, de elkerüli a paradoxonból következő ellentmondást. Ennek ellenére különféle okok miatt nem vált különösebben népszerűvé matematikusi körökben. A matematikusok nehézkesnek és mesterkéltnek tartották az elméletet, és sokkal egyszerűbb utat találtak a halmazelmélet megreformálására.

* A [[hazug paradoxona]] és az [[Epimenidész-paradoxon]] egyaránt ókori eredetű. A hazug paradoxona nagyon alapvető, a [[20. század]]ban kétszer is fontos szerepet játszott a matematikában. Először [[Kurt Gödel]] használta fel egy formalizált változatát [[nemteljességi tétel]]ének igazolásához. Másodszor [[Alan Turing]] bizonyította a [[megállási probléma]] eldönthetetlenségét a paradoxon segítségével

* [[Grelling-Nelson paradoxon]]

* [[Curry paradoxonja]], amely a Russell-paradoxontól eltérően rejtve, a ''követekzik'' premisszájába rejtve használ negációt.

* [[Boethius-paradoxon]]

* [[Cantor-paradoxon]]

* [[Burali-Forti-paradoxon]]

* [[Richard-paradoxon]]

* [[Mirimanoff-paradoxon]]

[[cs:RussellovaRussellův antinomieparadox]]