„Rolle-tétel” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Xqbot (vitalap | szerkesztései)
a Bot: következő módosítása: sk:Rollova veta o strednej hodnote; kozmetikai változtatások
13. sor:
 
Tegyük fel, hogy egy pontban <math>f</math> értéke ettől eltér, mondjuk. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ez az érték nagyobb <math>f(a)=f(b)</math>-nél (ellenkező esetben ugyanezt a gondolatmenetet a <math>-f</math> függvényre kell alkalmaznunk). [[Weierstrass tétele]] szerint a függvény az <math>[a,b]</math> intervallumban valahol felveszi maximumát. Legyen <math>c</math> egy ilyen pont. <math>c</math> nem lehet <math>a</math>-val vagy <math>b</math>-vel egyenlő, mert akkor lenne nála nagyobb értékű hely, ami ellentmond <math>f(c)</math> maximális tulajdonságának. Mivel <math>f</math> a <math>c</math>-ben (mely az értelemezési tartomány belső pontjában van) differenciálható és ott maximuma van, ezért a szélsőértékekre vonatkozó [[Fermat-tétel (analízis)|Fermat-tétel]] miatt ott a deriváltja 0. <big><big><big> [[Quod erat demonstrandum|■]] </big></big></big>
 
== Általánosításai ==
 
A Rolle-tétel érvényes tetszőleges intervallumon értelmezett differenciálható függvény esetén is, amennyiben a két végpont függvényértékének egyenlőségét a határértékek egyenlősége váltja fel.
 
'''Tétel''' – Az ''f'' : <math>I</math><math>\rightarrow</math>'''R''' intervallumon értelmezett, belül differenciálható függvény esetén létezik olyan ''ξ'' ∈ <math>I</math> pont, hogy ''f'' '( ''ξ'' ) = 0, feltéve, hogy létezik az lim<sub>''α''</sub> ''f'' és lim<sub>''β''</sub> ''f'' határérték és lim<sub>''α''</sub> ''f'' = lim<sub>''β''</sub> ''f'' , ahol ''α'' és ''β'' a <math>I</math> két végpontja.
 
''Bizonyítás.'' Indirekt módon tegyük fel, hogy minden ''x'' ∈ int( <math>I</math> ) belső pont esetén ''f'' '(''x'') > 0 vagy ''f'' '(''x'') < 0. Ekkor speciálisan az is igaz, hogy minden ''x'' ∈ int( <math>I</math> )-re ''f'' '(''x'') > 0 vagy minden ''x'' ∈ int( <math>I</math> )-re ''f'' '(''x'') < 0, ugyanis ha lenne ''a'' < ''b'' int( <math>I</math> )-beli elem, hogy ''f'' '(''a'') és ''f'' '(''b'') ellenkező előjelű (nem nulla), akkor a [[Darboux-tétel]]t alkalmazva lenne olyan ''c'' pont az [''a'',''b''] zárt halmazon, hogy ''f'' '(''c'') = 0, ami ellentmond az indirekt feltételnek. Ha ezzel szemben ''f'' az int( <math>I</math> ) halmazon állandó előjelű, akkor szigorúan monoton, ami meg annak mond ellent, hogy lim<sub>''α''</sub> ''f'' = lim<sub>''β''</sub> ''f'', tehát mindenképpen ellentmondásra jutunk. <big> [[Quod erat demonstrandum|■]] </big>
 
Ilyen például az
:<math>x\mapsto e^{-x^2}</math>
függvény.
 
Egy másik általánosítás a differenciálhatósági feltételen lazít.
 
'''Tétel''' – Ha az ''f'' : [''a'',''b'']<math>\rightarrow</math>'''R''' korlátos, zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény olyan, hogy ''f''(''a'') = ''f''(''b'') és az ''I'' minden belső pontjában vagy differenciálható ''f'', vagy a különbségi hányadosnak létezik +∞ vagy -∞ értékű határértéke, akkor létezik olyan ''ξ'' ∈ int( <math>I</math> ) pont, hogy ''f'' '( ''ξ'' ) = 0.
 
Ilyen például a [-2,2]-n értelmezett
:<math>x\mapsto \mathrm{sgn}(1-x^2)\sqrt{|1-x^2|}</math>
függvény.
 
A tétel fontos általánosítása még a [[Lagrange-féle középértéktétel]] is, mely (a tétel jelöléseivel)
:<math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
meredekségű érintő létezésére ad elégséges feltételt (f(b)=f(a) esetén persze megkapjuk a Rolle-tételt).
 
== Külső hivatkozások ==