„Galois-elmélet” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Alapfogalmai |
Alaptétele |
||
5. sor:
A Galois-elmélet további absztrakcióját a [[Galois-kapcsolatok]] elmélete adja.
==Alapfogalmai==
*Egy ''L''
*Egy testbővítés ''szeparábilis'', ha megkapható olyan elemmel vett bővítésként, aminek főpolinomjának nincs többszörös gyöke egy bővebb test fölött sem. Ezek az elemek szeparábilisek.
*Egy testbővítés Galois-bővítés, ha véges fokú, normális és szeparábilis. Ekvivalensen, a többszörös gyök nélküli polinomok felbontási testei Galois-bővítések.
*Egy [[test (algebra)|test]] ''tökéletes'', ha minden bővítése szeparábilis. A véges testek és a nulla karakterisztikájú testek mind tökéletes testek.
==Alaptétele==
Rögzítsük az ''L''|''K'' Galois-bővítést, és legyen egy közbülső test ''M''!
Ekkor:
#az ''M''→Gal(''L''|''M'') és a ''H''→Fix(H) leképezések egymás inverzei, és kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést adnak
#Ha ''M''<sub>1</sub> és ''M''<sub>2</sub> közbülső testek, amikre ''M''<sub>1</sub>⊆''M''<sub>2</sub>, akkor Gal(''L''|''M''<sub>1</sub>)≥Gal(''L''|''M''<sub>2</sub>)
#Hasonlóan, ha ''H''<sub>1</sub> és ''H''<sub>2</sub> közbülső testekhez tartozó Galois-csoportok, amikre ''H''<sub>1</sub>≤''H''<sub>2</sub> akkor Fix(''H''<sub>1</sub>)≥Fix(''H''<sub>2</sub>)
#Összefoglalva, ezek a megfeleltetések duális hálóizomorfizmusok
#Ha α∈Gal(''L''|''K''), és ''M'' közbülső test, akkor α(''M'') is közbülső test, és Gal(''L''|α(''M''))=αGal(''L''|''M'')α<sup>-1</sup>
#Az ''M''|''K'' testbővítés akkor és csak akkor normális, ha Gal(''M''|''K'') normális csoport Gal(''L''|''M'')-ben. Ekkor Gal(''M''|''K'') izomorf Gal(''L''|''K'')/Gal(''L''|''M'')-mel.
==Forrás==
Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
| |||