„Galois-elmélet” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Alaptétele |
még két szükséges fogalom, és egy kimaradt pont a főtételből |
||
9. sor:
*Egy testbővítés Galois-bővítés, ha véges fokú, normális és szeparábilis. Ekvivalensen, a többszörös gyök nélküli polinomok felbontási testei Galois-bővítések.
*Egy [[test (algebra)|test]] ''tökéletes'', ha minden bővítése szeparábilis. A véges testek és a nulla karakterisztikájú testek mind tökéletes testek.
*Egy ''L''|''K'' testbővítés relatív automorfizmusai ''L''-nek azok az automorfizmusai, amik fixen hagyják ''K''-t. Ezek az automorfizmusok csoportot alkotnak; ezt a csoportot a továbbiakban Gal(''L''|''K'') jelöli.
*Relatív automorfizmusok egy ''H'' csoportja által fixen hagyott testet Fix(''H'')-val jelöljük.
==Alaptétele==
Rögzítsük az ''L''|''K'' Galois-bővítést, és legyen egy közbülső test ''M''!
17 ⟶ 19 sor:
#Hasonlóan, ha ''H''<sub>1</sub> és ''H''<sub>2</sub> közbülső testekhez tartozó Galois-csoportok, amikre ''H''<sub>1</sub>≤''H''<sub>2</sub> akkor Fix(''H''<sub>1</sub>)≥Fix(''H''<sub>2</sub>)
#Összefoglalva, ezek a megfeleltetések duális hálóizomorfizmusok
#|Gal(''L''|''M'')|=|''L'':''M''|, |''L'':Fix(''H'')|=|''H''|, vagyis ezek a leképezések megtartják a bővítés indexét
#Ha α∈Gal(''L''|''K''), és ''M'' közbülső test, akkor α(''M'') is közbülső test, és Gal(''L''|α(''M''))=αGal(''L''|''M'')α<sup>-1</sup>
#Az ''M''|''K'' testbővítés akkor és csak akkor normális, ha Gal(''M''|''K'') normális csoport Gal(''L''|''M'')-ben. Ekkor Gal(''M''|''K'') izomorf Gal(''L''|''K'')/Gal(''L''|''M'')-mel.
|