„Sierpiński-háromszög” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló
DeniBot (vitalap | szerkesztései)
a kisebb formai javítások
1. sor:
[[Fájl:Sierpinski_triangleSierpinski triangle.svg|right|thumb|Sierpinski-háromszög]]
<!--[[Fájl:Triangle_sierpinski_animat.gif|right|thumb|A Sierpinski-háromszög így jön létre]]
[[Fájl:Sierpinski-zoom4-ani.gif|left|thumb|A Sierpinski-háromszög nagyítása]]-->
A '''Sierpiński-háromszög''' [[Wacław Sierpiński]] lengyel matematikus által megtalált [[fraktál]], amely úgy áll elő, hogy egy szabályos háromszögből elhagyjuk az oldalfelező pontok összekötésével nyert belső háromszöget, majd az így maradt három háromszögre [[rekurzió|rekurzívan]] alkalmazzuk ugyanezt az eljárást.
 
[[Hausdorff-dimenzió]]ja log(3)/log(2) ≈ 1,585.
 
Hasonló eljárással állítható elő egy négyzetből a [[Sierpinski-szőnyeg]].
== Konstrukciója ==
A Sierpiński-háromszög konstrukciójához többnyire egyenlő oldalú háromszöget választanak. Ez azonban nem kötelező; bármely háromszögből lehet Sierpiński-háromszöget készíteni.
[[FileFájl:SierpinskiTriangle-ani-0-7.gif|thumb|A Sierpiński-háromszög konstrukciójának lépései]]
 
Ez a klasszikus algoritmus a fraktál bemutatására is szolgál:
22. sor:
 
A klasszikus területszámítás módszerei szerint az iterációs lépésekben visszamaradt terület tart nullához.
== Matematikai összefüggések ==
[[FileFájl:Sierpinski-zoom4-ani.gif|framed|A Sierpiński-háromszög önhasonlósága]]
A Sierpiński-háromszög klasszikus fraktálként pontos önhasonlóságot mutat, különösen, ha egyenlő oldalú háromszögből készült: minden lépésben az eredeti háromszög három kicsinyített mása marad. A határértékként kapott ponthalmaz bármely része kinagyítva az eredetivel egybevágóvá tehető. Más szóval, a Sierpiński-háromszög skálainvariáns.
 
32. sor:
::<math>N = 2 \cdot 3^k-1</math> minden <math>k \in \N</math>-ra.
 
== Ábrázolása a fénymásoló-transzformációval ==
Szintén a Sierpiński-háromszög megjelenéséhez vezet a fénymásolós történet:
 
38. sor:
 
{|
|
| [[FileFájl:sierp tri 1.PNG|75px|1. lépés]]
| [[FileFájl:sierp tri 2.PNG|75px|2. lépés]]
| [[FileFájl:sierp tri 3.PNG|75px|3. lépés]]
| [[FileFájl:sierp tri 4.PNG|75px|4. lépés]]
| [[FileFájl:sierp tri 5.PNG|75px|5. lépés]]
| [[FileFájl:Sierp tri 6.PNG|75px|6. lépés]]
| [[FileFájl:sierp tri 7.PNG|75px|7. lépés]]
| [[FileFájl:sierp tri 8.PNG|75px|8. lépés]]
|-
| A lépés sorszáma
58. sor:
| 8
|}
== A Sierpiński-szivacs ==
[[Fájl:Sierpinski pyramid.png|thumb|Két Sierpiński-szivacs]]
A Sierpiński-háromszög térbeli analógja a Sierpiński-szivacs. Ez egy tetraéderből indul ki, és minden lépésben egy oktaédert vág ki a megmaradt tetraéderekből. A megmaradt tetraéderek száma minden lépésben megnégyszereződik, és élhosszuk a felére csökken. Innen a Sierpiński-szivacs dimenziója:
:<math>D=\frac{\log(4)}{\log(2)}=2</math>
holott ez egy térbeli alakzat.
 
A Sierpiński-szivacs térfogata nulla, felszíne véges.
== Káoszjáték ==
A Sierpiński-háromszög káoszjátékkal is kirajzolható:
#Tűzzük ki a három csúcsot, ''A''-t, ''B''-t és ''C''-t
74. sor:
 
Ha a pontokat a véletlenszerűen választott csúcsnak megfelelően színezzük (''A'' piros, ''B'' sárga, ''C'' kék), akkor három különböző színű Sierpiński-háromszöget kapunk egy nagy Sierpiński-háromszögben.
== Kapcsolat a Pascal-háromszögel ==
A [[Pascal-háromszög]] is kapcsolatba hozható a Sierpiński-háromszöggel. Ha vesszük a Pascal-háromszög első néhány sorát, akkor benne a páratlan számok a Sierpiński-háromszög egy közelítését adják. Pontosabban, minden egyes új közelítéshez meg kell kétszerezni a sorok számát. A kezdeti háromszögnek két sor felel meg, ezért a ''k''-adik közelítéshez 2·2<sup>''k''</sup> sort kell venni. Hasonlóan, a teljes Pascal-háromszögben a páratlan számok Sierpiński-háromszöget adnak.
 
== A természetben ==
A Sierpiński-háromszögre emlékeztet a [[Cymbiola innexa]] nevű kagyló héjának mintázata.<ref>[http://www.spiegel.de/fotostrecke/fotostrecke-46503-8.html Max-Planck-Institut für Entwicklungsbiologie: Kagylóhéjak: a mintázatok leírása képletekkel. Megjelenés helye: Spiegel online]</ref><ref>Bjørn Jamtveit, Paul Meakin (Hrsg.): Growth, Dissolution and Pattern Formation in Geosystems. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1999, 234</ref>
 
== Fordítások ==
{{fordítás|de|Sierpinski-Dreieck}}
== Források ==
{{források}}
* [http://web.eotvos.elte.hu/locsi/infomuhely/ek10/kpeter_fraktalok.pps Konstrukció]
* [http://teamlabor.inf.elte.hu/logosecsetvonasok/erdekesseg7.html A többlencsés fénymásológép]
* [http://ganymedes.lib.unideb.hu:8080/dea/bitstream/2437/2385/1/diplomamunka.pdf Káoszjáték és Pascal-háromszög]
{{csonk-mat}}