„Elfajult eset” változatai közötti eltérés

** A [[naiv halmazelmélet]]ben fellépő bizonyos halmazok létének feltételezése [[logika]]i [[paradoxon]]okhoz vezet, pl. ilyen az összes halmaz halmaza, vagy a magukat elemként nem tartalmazó halmazok halmaza, melyek a [[Cantor-antinómia]], a [[Burali-Forti-antnómia]], a [[Russell-paradoxon]] és más hasonló híres paradoxonok felléptét okozzák. Az összes halmaz halmazára nézve a számossági operáció „viselkedik” nagyon kellemetlenül; a Russell-féle halmaz esetében pedig már a halmazelmélet legalapvetőbb operációja, az eleme reláció is kezelhetetlenné válik. A tizenkilencedik-huszadik század fordulójának évtizedeiben az egész matematika romba dőlni látszott miattuk (ez volt a matematika megalapozási elvének ún. első válsága). Bár az [[axiomatikus halmazelméletekhalmazelmélet]]ek egy része egyszerűen kizárjákkizárja ezeket a halmazokat a tárgyalás köréből, filozófiai szempontból ma sincs rájuk véglegesnek tekinthető, és általánosan elfogadott megoldás. Ennek megjelenése hagyományosabbnak tekinthető a felsőfokú oktatásban: az alapozó kurzusok általában a Zermelo-Fraenkel-féle, „kizáró” axiomatikán alapulnak. Egy másik megoldás a Neumann-Bernays-Gödel-elmélet. Bár ez is axiomatikus, ez az elmélet nem kizáró, hanem megteremti a maga „komplex számsíkját” az [[osztály]] fogalmának bevezetésével: egy általánosabb fogalomra alapoz, aminek a halmazok csupán speciális esete, az elfajult halmazok pedig nem-halmazszerű (de létező) osztályok, hasonlóan, ahogy a képzetes számok nem-valós (de létező) számok.