„Riemann-integrál” változatai közötti eltérés

(→‎Riemann definíciója: kiegészítés)
[[Kép:riemann.gif|bélyegkép|jobbra|Normális felosztássorozat első tagjai]]
 
Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény ''Riemann-integrálható'' az [''a'',''b''] intervallumon, és aza határértékét a függvény ''Riemann-integrál''jának nevezzük. Jele: <math>\int_a^b f(x) \, dx</math> vagy röviden: <math> \int_a^b f</math>.
 
:<math>d(F_n) \to 0 \Rightarrow \sigma(F_n) \to \int_a^b f</math>
Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.
 
===Az alsó- és a felső integrálközelítő összeg===
Ha a <math> \sigma_n </math> összegben az <math> f(\xi_i) </math> helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a '' (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez'' jutunk: <math> S_n = \sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1})} </math>, ahol <math> M_i </math> a függvény felső határa (supremuma) az <math> [ x_{i-1}, x_i ] </math> intervallumon.
 
Hasonló a '' (Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg'' definíciója is: <math> s_n = \sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1})}, </math> ahol <math> m_i </math> az függvény alsó határa (infimuma) az <math> [ x_{i-1}, x_i ] </math> intervallumon.
 
Amennyiben létezik az <math>\int_a^b f</math> integrál, akkor <math>s_n \le \int_a^b f \le S_n</math>. IlymódonIly módon az integrált „két érték közé tudjuk szorítani”.
 
=== A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibniz-formula===
<center><math> \int_{\pi}^{\frac{3\pi}2} \sin x \,\mathrm{d}x = \Big[ -\cos x \Big]_{\pi}^{\frac{3\pi}2}= -\cos \frac{3\pi}2 - (-\cos \pi ) = 0 - 1 = -1</math></center>
 
A szinuszfüggvényt felrajzolva, a kapott eredmény előjele nem meglepő, hiszen a kérdéses intervallumon a függvényérték végig negatív.
 
==Határozatlan integrál==
Névtelen felhasználó