„Binomiális együttható” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Az analízisben: A bétafüggvény |
→Alkalmazásai: A gammafüggvény |
||
67. sor:
A bétafüggvény kiterjeszthető a komplex számok halmazára, ha <math>z,s\in\C</math>, <math>-z,-s\notin\N</math> és <math>s+z\ne-1</math>
:<math>\sum\limits_{k=0}^\infty\binom sk\frac{(-1)^k}{z+k+1}=\dfrac{1}{(z+s+1)\displaystyle\binom{z+s}s}=\mathrm{B}(z+1,s+1)</math>.
===A gammafüggvény===
Minden <math>-z\notin\{0,1,2,\dots,n\}</math>-re:
:<math>\sum\limits_{k=0}^n\binom nk\frac{(-1)^k}{z+k}=\frac{n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\cdot...\cdot(z+n)}</math>.
<math>\mathrm{Re}\,z>0</math> esetén a törtek felírhatók integrálokként
:<math>\frac1{z+k}=\int\limits_0^1 t^{z+k-1}\mathrm{d}t</math>
a hatványokat a binomiális képlet szerint összegezve
:<math>\sum\limits_{k=0}^n\binom nk\frac{(-1)^k}{z+k}=
\int\limits_0^1t^{z-1}(1-t)^n\mathrm{d}t=
n^{-z}\int\limits_0^nt^{z-1}\left(1-\frac tn\right)^n\mathrm{d}t
</math>,
ahol az utolsó integrálban ''t''-t helyettsítünk ''t''/''n''-be.
Be kell még látni, hogy a helyettesítések elvégezhetők, és a főbb tulajdonságok megmaradnak.
Így az egyenlőtlenség a
:<math>\int\limits_0^nt^{z-1}\left(1-\frac tn\right)^n\mathrm{d}t=\frac{n^z\,n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\cdot...\cdot(z+n)}</math>
alakot nyeri,
ahol a <math>n\to\infty</math> határátmenet éppen a Gauss-féle
:<math>\Gamma(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^z\,n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\cdot...\cdot(z+n)}</math>,
alakot adja..<ref>''[http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN35283028X_0002_2NS Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+…]'', 1813, S. 26 (auch in ''Carl Friedrich Gauß: Werke. Band 3'', [http://books.google.com/books?id=uDMAAAAAQAAJ&pg=PA145 S. 145])</ref>
==Általánosításai==
| |||