„Teljes differenciál” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
DeniBot (vitalap | szerkesztései)
a helyesírás: koordináta-rendszer
sablonigazítás
5. sor:
== Fréchet-féle differenciálhatóság ==
 
'''Definíció''' – Azt mondjuk, hogy az f : '''R'''<sup>m</sup><math>\mapsto</math>'''R'''<sup>n</sup> függvény{{hivref|erttart}} '''differenciálható''' (vagy ''totálisan differenciálható'', vagy ''Fréchet-féle értelemben differenciálható'') az értelmezési tartományának egy ''a'' belső pontjában, ha van olyan '''A''' : '''R'''<sup>m</sup><math>\rightarrow</math>'''R'''<sup>n</sup> lineáris leképezés, mellyel létezik (továbbá véges az n = 1 esetben) a következő határérték:
:<math>\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)-\mathbf{A}(x-a)}{||x-a||_2}=0\;\;\;\;\;.</math> {{hivref|||_2}}
 
Az itt szereplő '''A''' lineáris operátort az ''f'' függvény ''a''-beli '''differenciál'''jának vagy '''Fréchet-derivált'''jának nevezzük és
26. sor:
'''J'''<sub>x</sub><sup>f</sup> az ''f'' függvény ''x'' ponthoz tartozó Jacobi-mátrixát jelölő szimbólum.
 
Bár a Jacobi-mátrix a sztenderd bázisban van definiálva, és a bázis megváltoztatása esetén értékei szintén megváltoznak, de – az előbbi tétel miatt – ugyanannak a bázisfüggetlen lineáris leképezésnek lesz a koordinátamátrixa. Ezt a tulajdonságot azaz, hogy a Jacobi-mátrix „együtt transzformálódik a bázissal”, vagy „kovariáns a koordináta-rendszer-váltással” a matematikai fizikában úgy fogalmazzák meg, hogy a Jacobi-mátrix ''tenzormennyiség''. Innen ered az az elnevezés, hogy a '''J'''<sub>x</sub><sup>f</sup> mátrix az ''f'' függvény '''deriválttenzor'''a. Mivel az ''U'' minden pontjában felírhatjuk '''J'''<sub>x</sub><sup>f</sup>-t, ezért az ''U''-n értelmezett '''J'''<sup>f</sup> : ''x'' <math>\mapsto</math> '''J'''<sub>x</sub><sup>f</sup> leképezés úgy nevezett ''tenzormező'', mely minden ''x''-hez tenzort rendel.{{hivref|tenzor}}
 
==Teljes differenciál és függvényműveletek==