Wikipédia

„Bode-diagram” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Nincs szerkesztési összefoglaló
9. sor:
<math>z=ae^{i\varphi}</math>
 
Ahol a nemnegatív valós szám, és a szám abszolútértéke, φ pedig a szöge. A komplex értékű H(fω)<ref>vagy H(ωf)</ref> átviteli függvényt is felírhatjuk
 
<math>H(f)=a(f)e^{i\varphi(f\omega)}</math>
 
alakban. Bode az a(fω) és a φ(fω) függvényt ábrázolta két diagramon:
*Az '''amplitúdókarakterisztika''' az átviteli karakterisztika abszolút értékének frekvenciafüggését mutatja be, a vízszintes tengelyen a frekvenciát, a függőlegesen az amplitúdót ábrázolva.
 
26. sor:
===Valós pólus vagy zérus hatása===
[[Fájl:Bode Low-Pass.PNG|bélyegkép|jobbra|350px|Elsőfokú aluláteresztő karakterisztika számított(Δ) és közelítő értéke]]
A közelítő ([[aszimptota|aszimptotikus]], töréspontos) ábrázolás abból a meggondolásból indul ki, hogy egy

<math>H(\omega)=\left(1-+\frac{ifj\omega}{z\Omega}\right)</math>

alakú kifejezés (ahol <math>\Omega</math> a zérus- vagy törésponti körfrekvencia) nagy frekvenciákon <math>-j\frac{if}{z}omega / \Omega</math>-vel, kis frekvenciákon pedig 1-gyel (<math>0 dB</math>) helyettesíthetőközelíthető. Mivel a két közelítő egyenes épp <math>f\omega = -z\Omega</math>-nélnál metszik egymást, a törtvonalas közelítés amplitúdómenete felrajzolható úgy, hogy a zérus frekvenciáig (törésponti frekvencia) 0 dB-nél halad, majd innentől <math>-j\frac{if}{z}omega / \Omega</math>-nek megfelelő egyenessel, 20 dB/dekáddal emelkedik. A fázis közelítésénél jól látható, hogy kis frekvenciáknál 0-val, nagy frekvenciáknál 90°-kal számolhatunk. Az átmeneti tartományt a törésponti frekvencia tizede és tízszerese között szokták meghatározni,<ref name = "Fodor 199"/> az említett határoknál már 0 illetve 90° közelítést alkalmazva. Ez mindössze
 
:<math>arctg \left (0,1 \right ) \approx 5,71^\circ</math>
32 ⟶ 36 sor:
hibát okoz.
 
Pólus esetén hasonló a helyzet, ekkor a
Pólus esetén hasonló a helyzet, mindössze két dolog változik. Mivel az <math>\frac{1}{1-\frac{if}{p}}</math> alakú, egypólusú rendszer átviteli karakterisztikája az előbb tárgyalténak a [[reciprok]]a <math>z \to p</math> helyettesítéssel,
 
#Az amplitúdómenet az előbbi reciproka lesz, vagyis a törésponti frekvencia után -20 dB/dekáddal ''csökkenő'' egyenest kell rajzolni.
<math>H(\omega) = \frac{1}{1+\frac{1\omega}{\Omega}}</math>
#A fázismenetben a reciprokképzés miatt a fázis a -1-szeresére változik, előjelet vált.
 
alakú, egypólusú rendszer átviteli karakterisztikája az előbb tárgyalténak a [[reciprok]]a. Ezért az amplitúdómenet az előbbi reciproka lesz, vagyis a törésponti frekvencia után -20 dB/dekáddal ''csökkenő'' egyenest kell rajzolni. A fázismenetben a reciprokképzés miatt a fázis a -1-szeresére változik, előjelet vált.<ref name = "Fodor 198">{{opcit|név = Fodor|oldal = 198}}</ref>
 
===Konjugált zérus- illetve póluspárok===
41 ⟶ 47 sor:
<math>H_2(j \omega) = \frac{1}{1 + 2\zeta \frac{j\omega}{\Omega} + \left(\frac{j\omega}{\Omega}\right)^2}</math>
 
ahol <math>\Omega</math> a másodfokú pólusfrekvencia, <math>\zeta</math> a csillapítási tényező (a [[jósági tényező]] reciproka).<ref name = "Fodor 199">{{opcit|név = Fodor|oldal = 199}}</ref> <math>\zeta \text{≥} 1</math> esetén a függvénynek két valós pólusa van, <math>\zeta<1</math> esetén két [[Komplex konjugált|konjugált]] komplex pólusa. A karakterisztika abszolút értéke és fázisa
 
<math>\log_{10}|H_2(j \omega)| = \log_{10}\left[\left(1 - \left(\frac{\omega}{\Omega}\right)^2\right)^2 + \left(2\zeta \frac{\omega}{\Omega}\right)^2 \right]</math>
60 ⟶ 66 sor:
| <math>\varphi_2(\omega)</math> || <math>0\text{°}</math> || <math>-90\text{°}</math> || <math>-180\text{°}</math>
|}
[[Fájl:Resonantie-overdracht.png|bélyegkép|jobbra|Másodfokú aluláteresztő szűrő Bode-diagramja különböző [[jósági tényező]]k mellett]]
 
Vagyis törtvonalas közelítés esetén kis frekvenciákon az amplitúdókarakterisztikát a 0 dB-s aszimptotájával, a fáziskarakterisztikát a 0°-os aszimptotával közelíthetjük, nagy frekvencián az <math>(\Omega,0 dB)</math> ponton átmenő, -40 dB/dekád meredekségű egyenessel illetve -180°-kal becsülhető a karakterisztika. A fázis átmeneti tartománya <math>\omega_1=10^{-\zeta}\Omega</math> és <math>\omega_2=10^{\zeta}\Omega</math> között egy <math>(\omega_1,0\text{°})</math>, <math>(\omega_2,-180\text{°})</math> pontokon áthaladó egyenessel közelíthető.<ref name = "Fodor 200"/>
 
70 ⟶ 76 sor:
Általános esetben az átviteli karakterisztika
 
<math>H(f\omega)=\prod\limits_{i=0}^{n-1} {H_i(f\omega)}</math>
 
alakban írható fel. A logaritmus azonosságok miatt
<math>\log_{10}{|H(f\omega)|}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\log_{10}|H_i(f\omega)|}</math>
 
Ezen kívül <math>\arg\{H(f\omega)\}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\arg\{H_i(f\omega)\}}</math>
 
Vagyis az n tényező szorzataként előálló átviteli függvénynek mind az amplitúdó- mind a fáziskarakterisztikája a tényezők karakterisztikájának összege.
83 ⟶ 89 sor:
 
==Forrás==
{{cite book|autorauthor= Fodor György|title=Hálózatok és rendszerek|autor=Fodor György|publisher=Műegyetem Kiadó|year=2004|city=Budapest|isbn=963 420 810 X}}
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Bode-diagram”