„Bode-diagram” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
30. sor:
:<math>H(\omega)=1+\frac{j\omega}{\Omega}</math>
alakú kifejezés (ahol <math>-\Omega</math> a zérusfrekvencia, <math>|\Omega|</math> a törésponti körfrekvencia) nagy frekvenciákon <math>j\omega / \Omega</math>-vel, kis frekvenciákon pedig 1-gyel (<math>0 \text{dB}</math>) közelíthető. Mivel a két közelítő egyenes épp <math>\omega = \Omega</math>-nál metszik egymást, a törtvonalas közelítés amplitúdómenete felrajzolható úgy, hogy kis frekvenciáktól a törésponti frekvenciáig 0 dB-nél halad, majd innentől <math>j\omega / \Omega</math>
:<math>arctg \left (0,1 \right ) \approx 5,71^\circ</math>
40. sor:
:<math>H(\omega) = \frac{1}{1+\frac{j\omega}{\Omega}}</math>
alakú, egypólusú rendszer átviteli karakterisztikája az előbb tárgyalténak a [[reciprok]]a. Ezért az amplitúdómenet az előbbi reciproka lesz, vagyis a törésponti frekvencia után -20 dB/dekáddal ''csökkenő'' egyenest kell rajzolni. A fázismenetben a reciprokképzés miatt a fázis a -1-szeresére változik, előjelet vált.<ref name = "Fodor 198">{{opcit|név = Fodor|oldal = 198}}</ref> Megjegyzendő, hogy stabil rendszerekben nem lehet pozitív a pólusfrekvencia,<ref name = "Fodor 306">{{opcit|név = Fodor|oldal = 306}}</ref> ezért stabil rendszereknél <math>\Omega</math> mindig pozitív.
===Konjugált zérus- illetve póluspárok===
Egy nevezőjében másodfokú, számlálójában nulladfokú átviteli karakterisztika általános alakja
:<math>H_2(j \omega) = \frac{1}{1 + 2\zeta \frac{j\omega}{\Omega} + \left(\frac{j\omega}{\Omega}\right)^2}</math>
ahol <math>\Omega</math> a másodfokú pólusfrekvencia, <math>\zeta</math> a csillapítási tényező (a [[jósági tényező]] reciproka).<ref name = "Fodor 199">{{opcit|név = Fodor|oldal = 199}}</ref> <math>\zeta \text{≥} 1</math> esetén a függvénynek két valós pólusa van, <math>\zeta<1</math> esetén két [[Komplex konjugált|konjugált]] komplex pólusa. A karakterisztika abszolút értéke és fázisa
:<math>\log_{10}|H_2(j \omega)| = \log_{10}\left[\left(1 - \left(\frac{\omega}{\Omega}\right)^2\right)^2 + \left(2\zeta \frac{\omega}{\Omega}\right)^2 \right]</math>
illetve
:<math>\varphi_2(\omega)= - arctg{\frac{2\zeta\frac{\omega}{\Omega}}{1-\left(\frac{\omega}{\Omega}\right)^2}}</math>
Az átviteli karakterisztika közelítő értéke <math>\Omega > 0</math> esetén<ref name = "Fodor 200">{{opcit|név = Fodor|oldal = 200}}</ref>
{| class="wikitable"
|-
66. sor:
| <math>\varphi_2(\omega)</math> || <math>0\text{°}</math> || <math>-90\text{°}</math> || <math>-180\text{°}</math>
|}
Vagyis törtvonalas közelítés esetén kis frekvenciákon az amplitúdókarakterisztikát a 0 dB-s aszimptotájával, a fáziskarakterisztikát a 0°-os aszimptotával közelíthetjük, nagy frekvencián az <math>(\Omega,0 dB)</math> ponton átmenő, -40 dB/dekád meredekségű egyenessel illetve -180°-kal becsülhető a karakterisztika. A fázis átmeneti tartománya <math>\omega_1=10^{-\zeta}\Omega</math> és <math>\omega_2=10^{\zeta}\Omega</math> között egy <math>(\omega_1,0\text{°})</math>, <math>(\omega_2,-180\text{°})</math> pontokon áthaladó egyenessel közelíthető.<ref name = "Fodor 200"/>
76. sor:
Általános esetben az átviteli karakterisztika
:<math>H(\omega)=\prod\limits_{i=0}^{n-1} {H_i(\omega)}</math>
alakban írható fel. A logaritmus azonosságok miatt
:<math>\log_{10}{|H(\omega)|}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\log_{10}|H_i(\omega)|}</math>
Ezen kívül <math>\arg\{H(\omega)\}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\arg\{H_i(\omega)\}}</math>
85. sor:
Vagyis az n tényező szorzataként előálló átviteli függvénynek mind az amplitúdó- mind a fáziskarakterisztikája a tényezők karakterisztikájának összege.
== Diszkrét idejű rendszerek ==
===Jegyzetek===▼
A diszkrét idejű rendszerek átviteli karakterisztikáját tipikusan nem az eredeti Bode-diagramon ábrázolják, de hasonló diagramokat használnak ezen a területen is. Az amplitúdókarakterisztikát és a fáziskarakterisztikát lineáris frekvenciatengellyel ábrázolják, további különbség, hogy az amplitúdót az esetek egy részében szintén lineáris egységben tüntetik fel.<ref name = "Fodor 359-541">{{opcit|név = Fodor|oldal = 539-541}}</ref>
Mivel e rendszerek átviteli függvénye általában <math>e^{j\omega T_S}</math>-ban (T<sub>S</sub> a mintavételi periódusidő) és nem <math>j\omega</math>-ban racionális törtfüggvény, az átviteli karakterisztika <math>e^{j\omega T_S}</math> periodikus jellegéből következően 1/T<sub>S</sub> többszöröseivel eltolva ismétlődik. Elég tehát csak az <math>\omega</math>∈[0, 1/T<sub>S</sub>] [[intervallum]]on<ref>Valós impulzusválaszú rendszereknél elég az <math>\omega</math>∈[0, 0.5/T<sub>S</sub>] intervallumon</ref> ábrázolni,<ref name = "Fodor 359-541"/>
A Bode diagram ellen szól, hogy mintavételezett rendszerekben mivel a mintavételi frekvenciát a számítási igény csökkentése érdekében célszerű minimális szinten tartani, a rendszerek frekvenciatartománya viszonylag jól kitölti ezt az intervallumot, nincs szükség akkora átfogásra, mint analóg esetben. Emellett egyszerű felrajzolásának előnye is elveszik ebben a környezetben épp amiatt, mert az átviteli karakterisztika nem <math>j\omega</math> racionális törtfüggvénye. Lineáris frekvenciatengely és logaritmikus amplitúdótengely esetén lenne lehetőség a tört vonalas közelítés alkalmazására. Egyéb praktikus megfontolások is ebbe az irányba mutatnak. Egy rendszer analíziséhez gyakran használják a [[Fourier-transzformáció#Diszkrét Fourier-transzformáció|diszkrét Fourier-transzformációt]], aminek a felbontása lineáris léptékben állandó, f<sub>S</sub>/N (f<sub>S</sub> a [[Mintavételezési frekvencia|mintavételi frekvencia]], N a felhasznált minták száma).
{{források}}
| |||