„Lorentz-transzformáció” változatai közötti eltérés

Egy olyan fényjelet, amely az X tengely pozitív irányában halad, a következő egyenlettel lehet felírni: <math>x=ct\qquad</math> amiből egyértelműen következik az, hogy <math>x-ct=0\qquad</math>. '''''(1.)''''' A fény ez egyenlet szerint terjed. Mivel azt akarjuk, hogy a fény K' rendszerben is ''c'' sebességgel haladjon ''(azaz mindkét rendszerben a fény azonos sebességgel terjedjen)'', így a K' rendszerben is a fenti egyenletet, azaz az '''1.''' egyenletet kell venni: <math>x'-ct'=0\qquad</math> '''''(2.)''''' Azok az események melyek az '''1.''' egyenletre igazak, igaznak kell lenniük a '''2.''' egyenletre is. Ez a feltétel teljesülni fog ha: <math>x'-ct'=\lambda(x-ct)\qquad</math> '''''(3.)''''' egyenletet vesszük. Itt a ''λ'' egy állandót jelöl. A '''3.''' egyenlet miatt az <math>x-ct</math> eltűnése egyértelműen maga után vonja az <math>x'-ct'</math> eltűnését is, mivel a kettő egyenlet ugyan az, csak más inerciarendszerben számolunk vele. A negatív X tengely irányába terjedő fényre a következő hasonló egyenletet kell feltennünk: <math>x'+ct'=\mu(x+ct)\qquad</math>. '''''(4.)''''' Itt µ megint egy állandót jelöl. Adjuk össze majd vonjuk ki egymásból a '''3.''' és '''4.''' egyenletet majd vezessük be a ''λ'' és ''µ'' állandók helyett az alábbi két egyenletet az egyszerűsítés érdekében: <math>a={\lambda+\mu \over 2}\qquad</math> '''''(5.)''''' és <math>b={\lambda-\mu \over 2}\qquad</math>. Ezekkel az <math>x'=ax-bct\qquad</math><br /><br /> és <math>ct'=act-bx\qquad</math> egyenleteket kapjuk. Mivel még nem ismerjük az immáron ''a'' és ''b'' állandókat, így ezeket le kell következtetnünk. Ez a következő gondolatmenetből adódik.

A K' rendszer kezdőpontjában <math>x'=0</math>, így következik az '''5.''' egyenletekből: <math>x={bc \over a}t\qquad</math>. Jelöljük ''v''-vel azt a sebességet, amivel az egyik rendszer a másikhoz képest [[Egyenes_vonalú_egyenletes_mozgás|egyenes vonalú egyenletes mozgást]] végez. Így ebben az esetben: <math>v={bc \over a}\qquad</math>. '''''(6.)''''' A ''v''-re, azaz a sebességre ugyan ilyen értéket fogunk kapni abban az esetben is, ha a K' rendszer egy másik pontjának a sebességét a K' rendszerhez képest vizsgáljuk, illetve ha a K rendszer egy pontjának ''(ami a negatív X tengely irányba irányul)'' a sebességét a K' rendszerhez viszonyítva számoljuk ki. Tehát ebből következik, hogy a ''v'' sebességet a K és K' rendszerek relatív sebességének felel meg. A [[A relativitás elve]] miatt világos továbbá az is, hogy a K' rendszerhez viszonyítva egy nyugvó egység a K rendszerből mért hosszának ugyanakkorának kell lennie, mint a K rendszerhez viszonyítva nyugvó egység a K' rendszerből mért hossza. Ahhoz, hogy megtudjuk, hogyan lássuk az X' tengely pontjait a K rendszerből, nem kell mást tennünk, mint megállítanunk az időt és a ''t''-nek egy értéket kell adnunk. ''(például <math>t=0</math>)'' Ebben az esetben '''5.''' alatti első egyenletből <math>x'=ax\qquad</math> lesz. Az X' tengely két olyan pontja, melyek a K rendszerben mérve <math>x'=1</math> távolságban vannak egymástól, az általunk "megfagyasztott" időben <math>\Delta x={1 \over a}\qquad</math> '''''(7.)''''' távolságra vannak egymástól. Ha azonban mi a "megfagyasztott" idő alatt a K' rendszerből viszonyítunk akkor ''(még mindig <math>t'=0</math>)'', akkor az '''5.''' egyenletből a ''t'' állandó kivonásával, tekintettel a '''6.''' egyenletre <math>x'=a\bigg(1-{v^{2} \over c^{2}}\bigg)x\qquad</math>-t kapunk. Ebből arra következtethetünk, hogy az X tengelyen két egység távolsága K rendszerhez viszonyítva, a "fagyasztott" idő alatt <math>\Delta x'=a\bigg(1-{v^{2} \over c^{2}}\bigg)\qquad</math> '''''(7a.)''''' egység távolságban vannak egymástól. Mivel mindkét rendszerből nézve, az egységeknek egyenlő távolságra kell lenniük, így az kell, hogy a '''7.''' egyenlet ''Δx'' változója legyen egyenlő a '''7a.''' egyenlet ''Δx' '' értékével. Így ebből az következik, hogy <math>a^{2}={1 \over 1-{v^{2} \over c^{2}}}\qquad</math>. '''''(7b.)''''' A '''6.''' és '''7b.''' egyenletek meghatározzák az ''a'' és ''b'' állandók értékét. Ha az '''5.''' egyenletbe behelyettesítjük ''a'' és ''b'' értékeit, akkor a '''Lorentz-transzformáció''' két egyenletét kapjuk: <math>x'=\frac{x - vt}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad</math> '''''(8.)''''' és <math>t'=\frac{t - \frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad</math> '''''(8.)''''' Így megkaptuk a '''Lorentz-transzformációt''' az X tengelyen történő eseményekre. A két egyenlet ki is kielégíti a <math>x'^{2}-c^{2}t'^{2}=x^{2}-c^{2}t^{2}\qquad</math> egyenletet. Azokat az eseményeket, amik nem az X tengelyen mennek végbe, úgy tudjuk meghatározni, hogy hozzácsatoljuk az <math>y'=y \qquad</math> és <math>z'=z \qquad</math> egyenleteket a '''8.''' egyenletekhez, mivel az Y és Y', illetve a Z és Z' tengelyek párhuzamosak, így K és K' rendszerben a pontjaik egyenlőek.