„Generátorfüggvény” változatai közötti eltérés

'''Definíció''': Adott <math>r_0, r_1, \dots, r_i, \dots</math> [[sorozat (matematika)|sorozat]] generátorfüggvénye az <math>R(x)= \sum_{i=0}^\infty r_ix^i</math>.

A generátorfüggvényt használjuk a matematikai [[rekurzió]]k n-edik tagjának meghatározására, mint például a [[Fibonacci-sorozatszámok]]oknálnál.

A [[statisztika|statisztikában]] és a [[valószínűségszámításvalószínűség-számítás]]ban a [[diszkrét valószínűségi változókváltozó]]k számára a sorozatokhoz hasonlóan definiálnak generátorfüggvényt:

:<math>G_\chi(z)= \sum_{k=0}^\infty p_kz^k</math> (itt ''χ'' jelöli a valószínűségi változót, <math>p_k</math> pedig a <math>P(\chi=k)</math> valószínűséget).

*A generátorfüggvény [[hatványsor]]a abszolút [[konvergencia (matematika)|konvergens]] a |''z''|<1 körben. Ebben a körben a generátorfüggvény [[differenciálhatóság|differenciálható]], a [[deriválás]] tagonként elvégezhető, és a derivált hatványsor is konvergens ezen a körön belül.

*Az (''r'', ''qp'') paraméterű [[negatív binomiális eloszlás]] generátorfüggvénye:

:<math>G_\chi(z)=\left(\frac{p}{1 - (1-p)z}\right)^r=\left(\frac{1-q}{1-qz}\right)^r</math> (ahol <math>q=1-p</math>)