Wikipédia

„Végeselemes módszer” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Nincs szerkesztési összefoglaló
Nincs szerkesztési összefoglaló
2. sor:
[[Kép:FEM example of 2D solution.png|thumb|200px|2D VEM megoldás egy magnetostatikai feladatra (a vonalak a mágneses fluxus sűrűségének irányát, a színek az erősségét jelölik)]]
[[Kép:Example of 2D mesh.png|thumb|200px|A fenti probléma megoldáshoz felvett sík háló (a háló vizsgált hely közelében sűrűbb)]]
A '''Végeselemes módszer''' (VEM) numerikus módszer [[parciális differenciálegyenlet]]ek közelítő megoldására. Tipikus példa a végeselemes módszer használatára egy bonyolult alakú statikusan terhelt gépalkatrész feszültségi állapotának és alakváltozásának meghatározása. Ebben az esetben az alkatrészt modellező geometriai testet véges számú elemre bontják. Síkbeli problémáknál például háromszögekre vagy négyszögekre, térbeli esetben esetleg hasábokra vagy tetraéderekre. A felosztást úgy célszerű végrehajtani, hogy azokon a részeken, ahol a megoldás szempontjából kritikus lehet az eredmény, ott sűrűbben kisebb méretű, ahol pedig a változások várhatóan kisebb mértékűek lesznek, ott nagyobb méretű elemeket választanak. A modellben elemek csak sarokpontjaikon (''csomópontjaikon'') csatlakoznak egymáshoz. A csomópontokon az elemekre ható erők és a csomópontok elmozdulása között a Hooke törvényt követő anyag esetén lineáris összefüggés van, ezekből összeállítható az elemek merevségi mátrixa. Az elemek merevségi mátrixaiból megszerkeszthető az egész feladat merevségi mátrixa. A feladat ebben a fázisban az alábbi egyenlet megoldására redukálódik:
<!--
:<math>\vec K \vec u = \vec F, </math>
The '''finite element method (FEM)''' (its practical application often known as '''finite element analysis''' (FEA)) is a [[numerical analysis|numerical technique]] for finding approximate solutions of [[partial differential equation]]s (PDE) as well as of [[integral equation]]s. The solution approach is based either on eliminating the differential equation completely (steady state problems), or rendering the PDE into an approximating system of [[ordinary differential equation]]s, which are then numerically integrated using standard techniques such as [[Euler's method]], [[Runge-Kutta]], etc.
ahol
:<math> \vec u </math> az m elemű elmozdulásvektor,
:<math> \vec F </math> az m x m elemű terhelésvektor,
:<math> \vec K </math> egy m elemű szimmetrikus mátrix, a rendszer merevségi mátrixa,
:<math> m = n k </math> a rendszer csomópontjainak (n) és a csomópontok szabadságfokainak (k) szorzata.
 
Az egyenletrendszer megoldásával kiszámítható az egyes csomópontok elmozdulása, majd az elmozdulásokból a csomóponti erők és a közelítő mechanikai feszültségek. A statikus probléma tehát végső fokon egy [[lineáris egyenletrendszer]] megoldását kívánja, amelyre sok jól használható számítógépes módszert dolgoztak ki.
 
A lineáris rendszer csillapítás nélküli lengéseinek sajátfrekvenciáira a következő egyenlet írható fel:
:<math>\vec M \ddot {u} + \vec K \vec u = \vec 0, </math>
:<math> \vec \ddot {u} </math> a gyorsulásvektor, nem más mint az <math> \vec u </math> elmozdulásvektor idő szerinti második deriváltja,
:<math> \vec M </math> szimmetrikus mátrix a tömegmátrix, melynek elemei a rendszer tömegének a csomópontokra redukált diszkrét részeiből épül fel.
 
In solving [[partial differential equation]]s, the primary challenge is to create an equation that approximates the equation to be studied, but is [[numerically stable]], meaning that errors in the input and intermediate calculations do not accumulate and cause the resulting output to be meaningless. There are many ways of doing this, all with advantages and disadvantages. The Finite Element Method is a good choice for solving partial differential equations over complicated domains (like cars and oil pipelines), when the domain changes (as during a solid state reaction with a moving boundary), when the desired precision varies over the entire domain, or when the solution lacks smoothness. For instance, in a frontal crash simulation it is possible to increase prediction accuracy in "important" areas like the front of the car and reduce it in its rear (thus reducing cost of the simulation); another example would be the simulation of the weather pattern on Earth, where it is more important to have accurate predictions over land than over the wide-open sea.
-->
==Jegyzetek==
==Külső hivatkozások==
* [http://www.mech.uni-miskolc.hu/~paczelt/notes/VEM-ME-jegyzet.pdf Páczelt István, Szabó Tamás, Baksa Attila: A végeselem-módszer alapjai.]
* [http://www.mm.bme.hu/~voros/pdf/virtmunka_2005.pdf dr. Vörös Gábor: Vrtuális munka elve. Véges elem módszer alapjai. BME ktatási segédlet.]
* [http://meshining.com/index_elemei/ujs-3-7.pdf �A matematikai modellezés és a végeselem-módszer]
 
==Irodalom==
* H.C.Martin, G.F.Carrey: Bevezetés a végeselem-analízisbe. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1976. ISBN 963 10 1301 4
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Végeselemes_módszer”