„Centrum (algebra)” változatai közötti eltérés

→‎Gyűrű centruma: miért is nem?
(→‎Gyűrű centruma: miért is nem?)
== Gyűrű centruma ==
 
Az R = (U, +, × ) [[gyűrű (matematika)|gyűrű]] centruma az R* := (R\{0} , ×) multiplikatív félcsoport centruma a nullelemmel bővítve, jele C(R). Tehát a centrum most is a minden elemmel felcserélhetően szorozható elemek halmaza (a nullelem id mindennel felcserélhető, viszont a multiplikatív félcsoportnak és így annak centrumának sem eleme.kivételével).
 
Ez [[részgyűrű]], ugyanis nem üres (a 0 biztosan eleme); ha a,b∈C(R), akkor xa=ax és xb=bx tetszőleges x∈R esetén, ekkor (a+b)x = ax+bx = xa+xb = x(a+b), tehát a+b is centrumelem, C(R) zárt az összeadásra; azonkívül (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab), azaz ab is centrumelem, tehát C(R) zárt a szorzásra is. (C(R), +, ×)≤R az R gyűrű egy kommutatív részgyűrűje.