Weierstrass approximációs tétele

A Karl Weierstrass német matematikusról elnevezett Weierstrass (első) approximációs tétele szerint bármely $\left[a,b\right]$-n folytonos $f$ függvényhez és minden $\varepsilon >0$-hoz megadható olyan $p$ polinom, hogy $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$ minden $\left[a,b\right]$-re.

A tétel bizonyítása

Heine tétele szerint $f$ egyenletesen folytonos $\left[a,b\right]$-n, tehát van olyan $\delta >0$, hogy $x,y\in \left[a,b\right],|x-y|<\delta$ esetén $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$. Legyen $a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b$ egy $\delta$-nál finaomabb felosztás, és jelöljük $g$-vel azt a töröttvonalfüggvényt, amley az $x_{i}$ pontokban megegyezik $f$-el, az $\left[x_{i-1},x_{i}\right]$ intervallumokban pedig lineáris. Ekkor $|g(x)-f(x)|<\varepsilon$ minden $x\in \left[a,b\right]$-re.