„Weierstrass approximációs tétele” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Új oldal, tartalma: „A Karl Weierstrass német matematikusról elnevezett '''Weierstrass (első) approximációs tétele''' szerint bármely <math>\left[a,b\right]</math>-n folytonos <math…”
 
Nincs szerkesztési összefoglaló
4. sor:
 
[[Heine tétele]] szerint <math>f</math> egyenletesen folytonos <math>\left[a,b\right]</math>-n, tehát van olyan <math>\delta>0</math>, hogy <math>x,y\in\left[a,b\right],|x-y|<\delta</math> esetén <math>|f(x)-f(y)|<\varepsilon</math>.
Legyen <math>a=x_0<x_1<...<x_n=b</math> egy <math>\delta</math>-nál finaomabb felosztás, és jelöljük <math>g</math>-vel azt a töröttvonalfüggvényt, amley az <math>x_i</math> pontokban megegyezik <math>f</math>-el, az <math>\left[x_{i-1},x_i\right]</math> intervallumokban pedig lineáris. Ekkor <math>|g(x)-f(x)|<\varepsilon</math> minden <math>x\in\left[a,b\right]</math>-re. Ha ui. <math>x_{i-1}\le x\le x_i</math>, akkor <math>|x-x_{i-1}|<\delta</math> és <math>|x-x_i|<\delta</math> alapján <math>|f(x)-f(x_1)|<\varepsilon</math> és <math>|f(x)-f(x_i)|<\varepsilon</math>, azaz <math>f(x_{i-1})</math> és <math>f(x_i)</math> mindegyikeaz <math>(f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)</math> intervallumba esik. Mivel <math>g(x)</math> a <math>g(x_{i-1})=f(x_{i-1})</math> és <math>g(x_i)=f(x_i)</math> számok között van (hiszen <math>g</math> lineáris <math>\left[x_{i-1},x_i\right]</math>-ben), ezért <math>|g(x)-f(x)|<\varepsilon</math>.
Mivel minden [[töröttvonalfüggvény]] egyenletesen megközelíthető polinomokkal, létezik olyan <math>p</math>polinom, amelyre <math>|p(x)-g(x)|<\varepsilon</math> minden <math>x\in\left[a,b\right]</math>-re.
Ekkor <math>|p(x)-f(x)|\le|p(x)-g(x)|+|g(x)-f(x)|<2\varepsilon</math> minden <math>x\in\left[a,b\right]</math>-re.