„Töröttvonalfüggvény” változatai közötti eltérés

függvényeket <math>\left(i=1,...,n\right)</math>, ahol <math>m_0=0</math>. Ekkor a <math> \Phi=\sum_{i=1}^n\Phi_i</math> függvény olyan töröttvonalfüggvény, amelynek a meredeksége az <math>\left[x_{i-1},x_i\right]</math> intervallumban <math>m_i</math> minden <math>i=1,...n</math>-re. Ebből egyszerűen adódik, hogy <math>f=\Phi+f\left(a\right)</math>.

Most belátjuk, hogy mindegyik <math>\Phi_i</math> függvény egyenletesen megközelíthető polinomokkal az <math>\left[a,b\right]</math> intervallumban. Legyen i rögzített, és vezessük be az <math>x_{i-1}=c</math> és <math>m=\left(m_i-m_{i-1}/2\right)</math> jelölést. Ekkor <math>\Phi_i(X)=m\cdot\left(|x-c|+\left(x-c\right)\right)</math> minden <math>x</math>-re. Válasszunk egy olyan <math>r</math> számot, amelyre <math>c-r<a<b<c+r</math>. Az előző példa szerint minden <math>\varepsilon>0</math>-hoz létezik olyan <math>p</math> polinom, hogy <math>|p(x)-|x||<\varepsilon</math> minden <math>x\in\left[-1,1\right]</math>-re. Ekkor a <math>q_i(x)=mr\cdot p\left(\frac{x-c}{r}\right)+m\cdot(x-c)</math> polinomra teljesül, hogy <math> |q_i(x)-\Phi_i(x)|<|m|r\cdot\varepsilon</math> minden <math> x\in\left[c-r,c+r\right]</math>-re, tehát minden <math>x\in\left[a,b\right]</math>-re is. Így a <math>q=f(a)+\sum_{i=1}^nq_i</math> polinom rendelkezik a tulajdonsággal, hogy <math>|q(x)-f(x)|<K\cdot\varepsilon</math> minden <math>x\in\left[a,b\right]</math>-re, ahol <math>K</math> konstans nem függ <math>\varepsilon</math>-tól.