„Harmonikus sor” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
forma |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
13. sor:
minden <math>n</math>-re. Tegyük fel, hogy a sor konvergens és az összege <math>A</math>. Ekkor <math>n\rightarrow\infty</math> esetén <math>s_{2n}-s_n\rightarrow A-A=0</math>, ami lehetetlen.
== Következmények ==
Mivel a harmonikus sor az összes pozitív egész szám reciprokát tartalmazza, várható, hogy a sor viselkedésének számelméleti vonatkozásai is vannak. Ez valóban így van. A harmonikus sor divergenciáját felhasználva új bizonyítást adhatunk arra, hogy végtelen sok prímszám létezik. Tegyük fel ugyanis, hogy csak véges sok prím van, és legyenek ezek <math>p_1,...,p_k</math>. Minden <math>i</math>-re és <math>N</math>-re fennállnak az
<math>1+\frac{1}{p_i}+...+\frac{1}{p_i^N}=\frac{1-p_i^{-\left(N+1\right)}}{1-\frac{1}{p_i}}<\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}</math>
összefüggéseket. Ezeket összeszorozva azt kapjuk, hogy
<math>\prod_{i=1}^k\left(1+\frac{1}{p_i}+...+\frac{1}{p_i^N}\right)<\prod_{i=1}^k\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}</math>
minden <math>N</math>-re. Ha a bal oldalon elvégezzük a szorzást, akkor minden olyan szám reciprokát megkapjuk, amelynek a prímtényezős felbontásában minden prím kitevője legfeljebb <math>N</math> (hiszen az indirek feltevés szerint nincs más prím <math>p_1,...,p_k</math>-n kívül). Nyilvánvaló, hogy <math>N</math>-ig minden szám ilyen, tehát <math>\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}=s_N<\prod_{i=1}^k\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}</math>. Ez azonban lehetetlen, hiszen <math>s_N\rightarrow\infty</math>, ha <math>N\rightarrow\infty</math>.
== Forrás ==
* Laczkovich Miklós–T. Sós Vera: ''Analízis II.'' ISBN 978 963 19 6084 6
| |||