Egyenletesen folytonos függvény

Az egyenletesen folytonos függvények a folytonos függvények alcsoportját képzik és fontos szereppel bírnak a matematikai analízis-ben.

Bevezetés

Legyen az $f$ függvény folytonos az $I$ intervallumban. Ez azt jelenti, hogy minden $a\in {I}$-hez és tetszőleges $\varepsilon >0$-hoz létezik $\delta >0$ úgy, hogy

$|f\left(x\right)-f\left(a\right)|<\varepsilon$, ha $x\in \left(a-\delta ,a+\delta \right)\cap {I}$.

Sok esetben meghatározhatjuk az $a$ helyhez tartozó lehető legnagyobb $\delta$-t, amellyel a fenti feltétel teljesül. Jelöljük ezt $\delta \left(a\right)$-val. Ha $\varepsilon >0$ rögzített, akkor különböző $a$ pontokhoz általában különböző $\delta \left(a\right)$ tartozik. Könnyű belátni például, hogy az $f\left(x\right)=x^{2}$ függvény esetében minél nagyobb $|a|$ értéke, annál kisebb az $a$ helyhez tartozó $\delta \left(a\right)$. Így a $\left[0,1\right]$ intervallumban az $a=1$ helyhez tartozó $\delta \left(a\right)$ a legkisebb, ezért bármely $a\in \left[0,1\right]$ helyen választható $\delta$ gyanánt az 1-hez tartozó $\delta \left(1\right)$. Ez más szóval azt jelenti, hogy minden $a\in \left[0,1\right]$-re

$|f\left(x\right)-f\left(a\right)|<\varepsilon$, ha $|x-a|<\delta \left(1\right)$.

Ez az okoskodás persze általában nem működik. Mivel végtelen sok szám között nem mindíg van legkisebb, ezért egy $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ folytonos függvényhez - a fenti módszerrel - nem mindíg találhatunk olyan $\delta$-t, ami minden $a\in {I}$-re jó. De nem is mindíg létezik ilyen $\delta$. Az $f\left(x\right)=1/x$ függvény esetében $\delta \left(a\right)\rightarrow 0$, ha $a\rightarrow 0$, vagyis nem létezik olyan $\delta$, amely a $\left(0,1\right)$ intervallumban bármely $a$ helyen jó lenne. A Heine-tétel szerint ez a jelenség nem fordulhat elő olyan függvények esetében, amelyek egy korlátos zárt intervallumban folytonosak: ilyen esetben kell, hogy létezzen az intervallum minden pontjában egy közös, jó $\delta$. Ezt a tulajdonságot egyenletes folytonosságnak nevezzük.

Definíció

Az $f$ függvény egyenletesen folytonos az I intervallumban, ha midnen $\varepsilon >0$-hoz létezik egy (közös, azaz helytől független) $\delta >0$, amelyre teljesül, hogy

ha $x_{o},x_{1}\in {I}$ és $|x_{1}-x_{0}|<\delta$, akkor $|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)|<\varepsilon$.

Forrás

• Laczkovich Miklós–T. Sós Vera: Analízis II. ISBN 978 963 19 6084 6