„Newton–Leibniz-tétel” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
7. sor:
== Bizonyítás ==
Legyen <math>a=x_0<x_1<...<x_n=b</math> az
:<math>F\left(
▲Legyen <math>a=x_0<x_1<...<x_n=b</math> az <math>\left[a,b\right]</math> intervallum tetszőleges felosztása. A [[Lagrange-féle középértéktétel|Lagrange-középértéktétel]] szerint minden <math>i</math>-re van olyan <math>c_i\in\left(x_{i-1},x_i\right)</math> pont, amelyre
teljesül. Ha ezeket az egyenlőségeket összeadjuk minden
:<math>F
Ez azt jelenti, hogy bármely felosztáshoz vannak olyan közbülső pontok, hogy az
:<math>F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int_a^bf\left(x\right)\, dx</math>.
▲teljesül. Ha ezeket az egyenlőségeket összeadjuk minden <math>i=1,...,n</math>-re, akkor a bal oldalon minden tag kiesik, kivéve az <math>F\left(x_n\right)=F\left(b\right)</math> és <math>F\left(x_0\right)=F\left(a\right)</math> tagokat, és így azt kapjuk, hogy
▲Ez azt jelenti, hogy bármely felosztáshoz vannak olyan közbülső pontok, hogy az <math>f</math> függvénynek ezekkel a közbülső helyekkel vett közelítő összege éppen <math>F\left(b\right)-F\left(a\right)</math>-val egyenlő. Ebből következik, hogy az <math>F\left(b\right)-F\left(a\right)</math> szám minden felosztásra az alsó összeg és feéső összeg között helyezkedik el. Mivel <math>f</math> integrálható, ezért csak egyetlen ilyen szám van: <math>f</math> integrálja. Így
▲<math>F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int_a^bf\left(x\right)\, dx</math>.
== Forrás ==
|