„Newton–Leibniz-tétel” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló
Nincs szerkesztési összefoglaló
7. sor:
 
== Bizonyítás ==
Legyen <math>a=x_0<x_1<...<x_n=b</math> az <math>\left[a,b\right]</math> intervallum tetszőleges felosztása. A [[Lagrange-féle középértéktétel|Lagrange-középértéktétel]] szerint minden <math>''i</math>''-re van olyan ''c''<mathsub>c_i\in\lefti</sub>∈(x_{x<sub>i-1}</sub>,x_i\right)x<sub>i</mathsub>) pont, amelyre
 
:<math>F\left(bx_i\right)-F\left(ax_i-1\right)=F'\int_a^bfleft(c_i\right)\left(xx_i-x_{i-1}\right)=f\, dxleft(c_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)</math>.
Legyen <math>a=x_0<x_1<...<x_n=b</math> az <math>\left[a,b\right]</math> intervallum tetszőleges felosztása. A [[Lagrange-féle középértéktétel|Lagrange-középértéktétel]] szerint minden <math>i</math>-re van olyan <math>c_i\in\left(x_{i-1},x_i\right)</math> pont, amelyre
teljesül. Ha ezeket az egyenlőségeket összeadjuk minden <math>''i''=1,...,n</math>-re, akkor a bal oldalon minden tag kiesik, kivéve az ''F''(x<mathsub>n</sub>F\left(x_n\right)=F\left(b\right)</math> és F(x<mathsub>0</sub>F\left(x_0\right)=F\left(a\right)</math> tagokat, és így azt kapjuk, hogy
 
:<math>F\left(x_i\rightb)-F\left(x_i-1\righta)=F'\left(c_i\right)\left(x_i-x_sum_{i-=1}\right)=f\left^nf(c_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)</math>.
Ez azt jelenti, hogy bármely felosztáshoz vannak olyan közbülső pontok, hogy az <math>''f</math>'' függvénynek ezekkel a közbülső helyekkel vett közelítő összege éppen <math>''F\left''(b\right)-''F\left''(a\right)</math>-val egyenlő. Ebből következik, hogy az <math>''F\left''(b\right)-''F\left''(a\right)</math> szám minden felosztásra az alsó összeg és feésőfelső összeg között helyezkedik el. Mivel <math>''f</math>'' integrálható, ezért csak egyetlen ilyen szám van: <math>''f</math>'' integrálja. Így
 
:<math>F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int_a^bf\left(x\right)\, dx</math>.
teljesül. Ha ezeket az egyenlőségeket összeadjuk minden <math>i=1,...,n</math>-re, akkor a bal oldalon minden tag kiesik, kivéve az <math>F\left(x_n\right)=F\left(b\right)</math> és <math>F\left(x_0\right)=F\left(a\right)</math> tagokat, és így azt kapjuk, hogy
 
<math>F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^nf(c_i)(x_i-x_{i-1})</math>.
 
Ez azt jelenti, hogy bármely felosztáshoz vannak olyan közbülső pontok, hogy az <math>f</math> függvénynek ezekkel a közbülső helyekkel vett közelítő összege éppen <math>F\left(b\right)-F\left(a\right)</math>-val egyenlő. Ebből következik, hogy az <math>F\left(b\right)-F\left(a\right)</math> szám minden felosztásra az alsó összeg és feéső összeg között helyezkedik el. Mivel <math>f</math> integrálható, ezért csak egyetlen ilyen szám van: <math>f</math> integrálja. Így
 
<math>F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int_a^bf\left(x\right)\, dx</math>.
 
== Forrás ==