Ívhossz

Az ívhossz egy differenciálható görbe szakaszának a hossza. Az ívhossz kiszámítása sok szempontból hasznos lehet, hiszen egy görbe sok mindent reprezentálhat (bejárt út, munka stb.). Jelölése: $S\,$.

Kiszámítása

Az ívhossz a görbe parametrikus egyenletéből relatíve egyszerűen megadható, mégpedig a meredekség vektorok hosszainak összegéből, azaz:

$S=\int \limits _{a}^{b}\vert {\vec {F}}'(t)\vert \;\mathrm {d} t$,

ahol $t\,$ független paraméter. Descartes-koordináta-rendszerben a képlet így néz ki:

$S=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\;dx$

Ez a képlet a következő Riemann-összegből számítható (ezzel az összeggel reprezentálva az ívhosszt):

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {1+f'(x_{i})^{2}}}\;\Delta x$

A fenti szummában a kifejezés a közelítő hossza egy húrnak a $\Delta x\,$ távolságon. Ahogy $\Delta x\,$ tart nullához, úgy közelíti az összeg az ívhosszt.

Az ívhossz polárkoordinátákban is meghatározható a fenti általános, vektoros képletből:

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {r(\theta )^{2}+(r'(\theta ))^{2}}}\;d\theta$

Ívhossz szerinti paraméterezés

Egy görbe paraméterezései között kitüntetett szerep jut az úthossz szerinti paraméterezésnek. Sok képlet egyszerűbbé válik, ha ezt a paraméterezést használjuk.

Legyen a $\Gamma$ görbe ezzel a paraméterezéssel megadva:

${\begin{matrix}\gamma :&[a,b]&\to &\mathbb {R} ^{n}\\&r&\mapsto &\gamma (r)\end{matrix}}$

és $\Gamma (t)$ minden $t\in [a,b]$-re. Ekkor a $\gamma |[a,t]$ paraméterezésű részgörbére

${\begin{matrix}s:&[a,b]&\to &\mathbb {R} \\&t&\mapsto &L\left(\Gamma _{t}\right)\end{matrix}}$

a $\Gamma$ görbe úthosszfüggvénye. Ez az s(t) folytonos és monoton növő függvény, mivel a görbe nem szakadásos. Ha szigorúan monoton növő, akkor invertálható is, az inverz függvény $t(s)$. Ekkor $\Gamma$ ívhossz szerinti paraméterezése:

${\begin{matrix}{\hat {\gamma }}:&[0,L(\gamma )]&\to &\mathbb {R} ^{n}\\&s&\mapsto &\gamma (t(s))\end{matrix}}$

Ha $\Gamma$ folytonosan differenciálható, és ${\dot {\gamma }}(r)\neq 0$ minden $r\in [a,b]$-ra, akkor ${\hat {\gamma }}$ is folytonosan differenciálható, és minden $s\in [0,L(\Gamma )]$-re:

$\left\|{\frac {\mathrm {d} {\hat {\gamma }}(s)}{\mathrm {d} s}}\right\|=1$.

Források

• Planet Math: Arc length Archiválva 2009. február 14-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Wolfgang Ebeling, Institut für Algebraische Geometrie, Universität Hannover: Vorlesungsskript Analysis II. [1] Archiválva 2008. január 1-i dátummal a Wayback Machine-ben