Affin transzformáció

Az affin transzformáció az affin geometriában használt, illetve a lineáris algebra részeként is tárgyalható fogalom. Egy affin transzformáció során a transzformált koordináták az eredeti koordináták lineáris függvényeként állnak elő. Ide tartoznak a lineáris transzformációk.

Franciaország körvonala

Franciaország körvonala affin transzformáció (nyírás) után. Látható, hogy a négyzetekből paralelogrammák lettek

Lényege, hogy egy affin terek közötti transzformáció affin, ha megőrzi a kollinearitást, a párhuzamosságot és az osztóviszonyt. Pontosabban:

• A kollinearitást megőrzi, ha valahányszor egy egyenesre esik három pont, akkor a képpontok is egy egyenesre esnek. Ez nem zárja ki, hogy a képük ugyanaz a pont legyen.
• A párhuzamosságot megőrzi, ha valahányszor két egyenes párhuzamos, akkor a képegyenesek is párhuzamosok.
• Az osztóviszony megőrzése azt jelenti, hogy valahányszor három pont egy egyenesre esik, a képpontok közötti távolságot a középső pont ugyanabban az arányban osztja fel, mint az eredeti pontok közül a középső pont.

Speciális affin transzformációk:

• Egy affin tér önmagára vett bijektív affin transzformációját affinitásnak nevezik.
• A fixpontos affin transzformációkat lineáris leképezéseknek nevezik például az iskolai matematikában vagy speciális alkalmazásterületeken, például a statisztikában.

Definíció

Ha $(A,V_{A})$ és $(B,V_{B})$ affin terek, akkor egy $f\colon A\to B$ leképezés affin, ha van egy $\varphi \colon V_{A}\to V_{B}$ lineáris leképezés a hozzájuk tartozó vektorterek között úgy, hogy

${\overrightarrow {f(P)f(Q)}}=\varphi \left({\overrightarrow {PQ}}\right)$

minden $P,Q\in A$ pontra. Itt az ${\overrightarrow {PQ}}\in V_{A}$ és ${\overrightarrow {f(P)f(Q)}}\in V_{B}$ vektorok az eredeti pontok és a képpontok összekötő vektorai.

Hogyha $A=V_{A}$ és $B=V_{B}$, akkor az $f\colon A\to B$ leképezés affin, ha van egy $\varphi \colon V_{A}\to V_{B}$ lineáris leképezés úgy, hogy

$f(P)=f(0)+\varphi (P)$

minden $P\in A$. Ekkor az affin leképezés megkapható egy lineáris leképezésből az $f(0)$ vektorral való eltolással.

Tulajdonságok

• A definícióban szereplő $\varphi$ leképezést $f$ egyértelműen meghatározza. A következőkben $\varphi _{f}$ jelöli.
• Egy $f\colon A\to B$ leképezés akkor és csak akkor affin, ha van egy $P_{0}\in A$ úgy, hogy

$\varphi _{f}\colon V_{A}\to V_{B},\quad {\overrightarrow {P_{0}Q}}\mapsto {\overrightarrow {f(P_{0})f(Q)}}$

lineáris.

• Ha adva van $P_{0}\in A$ és $Q_{0}\in B$, illetve egy $\psi \colon V_{A}\to V_{B}$ lineáris leképezés, akkor pontosan egy $f\colon A\to B$ affin leképezés létezik úgy, hogy $f(P_{0})=Q_{0}$ és $\varphi _{f}=\psi$.
• Egy $f$ affin leképezés pontosan akkor bijektív, ha $\varphi _{f}$ is bijektív. Ekkor az $f^{-1}\colon B\to A$ inverz leképezés szintén affin és $\varphi _{f^{-1}}=(\varphi _{f})^{-1}$.
• Ha $(C,V_{C})$ szintén affin tér úgy, hogy $f\colon A\to B$, $g\colon B\to C$ is affin, akkor $g\circ f\colon A\to C$ is affin, és $\varphi _{g\circ f}=\varphi _{g}\circ \varphi _{f}$.

Ábrázolások koordinátákkal

Affin koordináta-rendszerben

Descartes-koordináta-rendszert vagy általánosabban, affin koordináta-rendszert feltételező esetben az affin transzformációk előállnak egy lineáris transzformáció és egy eltolás szorzataként. Egy lineáris transzformáció ábrázolható mátrixszal, és egy eltolás vektorral, azért az affin transzformáció általános alakját a következőképpen írhatjuk fel:

${\overset {\text{Transzformált koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Blue}X^{'},&\color {Blue}Y^{'},&\color {Blue}Z^{'}\\\end{bmatrix}}}={\overset {\text{ Eredeti koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Red}X,&\color {Red}Y,&\color {Red}Z\\\end{bmatrix}}}\cdot {\overset {3\times 3{\text{ mátrix}}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\\\end{bmatrix}}}+{\overset {P{\text{ Vektor}}}{\begin{bmatrix}P_{x},&P_{y},&P_{z}\\\end{bmatrix}}}$

Ahol a 3x3 -as A mátrix valamilyen lineáris transzformáció mátrixa ami lehet skálázás, forgatás, tükrözés, vetítés, nyírás vagy ezek tetszőleges konkatenáltja. A P vektor pedig valamilyen eltolás vektoraként értelmezhető.

Röviden:

$f({\vec {x}})=A\cdot {\vec {x}}+{\vec {p}}$

Ezzel az írásmóddal ${\vec {x}}$ és $f({\vec {x}})$ oszlopvektorok, és egy pont ősképét, illetve képét ábrázolják. Az $A$ mátrix sorainak száma megegyezik annak a térnek a dimenziójával, amibe a transzformáció képez(${\mathcal {A}}_{2}$); az oszlopok száma egyenlő annak a térnek a dimenziójával, amiből a transzformáció képez (${\mathcal {A}}_{1}$).

Az affin leképezés $f({\mathcal {A}}_{1})$ képterének dimenziója megegyezik a mátrix rangjával.

Ha egy affin teret önmagára képezünk, akkor csak egy koordináta-rendszert kell választani; mind ${\vec {x}}$, mind $f({\vec {x}})$ koordinátáit ebben a rendszerben írjuk fel. Mivel az ős- és a képtér megegyezik, dimenziójuk ugyanakkora, így az $A$ mátrix oszlopainak és sorainak száma megegyezik, tehát az $A$ mátrix négyzetes. Ebben az összefüggésben azonosítják az eltolások terét is az affin térrel. Így az affin önleképezések azonosíthatók a lineáris leképezések és az eltolások kombinációjával.

Egy affin önleképezés pontosan akkor affinitás, ha a leképezésmátrix determinánsa nem nulla.

Homogén koordinátákkal

Homogén koordináták használata esetén egyetlen mátrixszorzással felírható:

${\overset {\text{Transzformált koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Blue}X^{'},&\color {Blue}Y^{'},&\color {Blue}Z^{'},&\color {Blue}1\\\end{bmatrix}}}={\overset {\text{Eredeti koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Red}X,&\color {Red}Y,&\color {Red}Z,&\color {Red}1\\\end{bmatrix}}}\cdot {\overset {4\times 4{\text{ mátrix}}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}&0\\A_{21}&A_{22}&A_{23}&0\\A_{31}&A_{32}&A_{33}&0\\P_{x},&P_{y},&P_{z}&1\\\end{bmatrix}}}$

A leképezés egyenlete homogén koordinátavektorokkal:

$f_{h}({\vec {x_{h}}})=A_{\mathrm {erw} }(A,{\vec {p}})\cdot {\vec {x_{h}}}$.

Ez az ábrázolás értelmezhető az affin tér megfelelő dimenziójú projektív térbe ágyazásaként. Ekkor a homogén koordináták értelmezhetők projektív koordinátákként.

Osztályozás

Az affinitásokat fixpontjaik szerint osztályozzák. Egy pont fixpont, ha a transzformáció önmagára képezi le. Ha ${\vec {x}}_{p}$ fixpont, akkor koordinátái meghatározhatók az ${\vec {x}}_{p}-A\cdot {\vec {x}}_{p}={\vec {t}}$ egyenlet alapján. Figyelembe kell venni, hogy ${\vec {t}}\neq 0$ fixpont is létezhet, lásd például a síkban a tengelyes tükrözést.

Az osztályozás a síkbeli (kétdimenziós) affin térben:

1. Identitás, minden pont fix
2. Tengelyes affinitás: egy affinitás, melynek fixpontjai egyenest alkotnak, ez az affinitás tengelye. Ide tartoznak a ferdén tükrözések, a nyírások és a párhuzamos nyújtások.
3. Középpontos affinitás: egyetlen fixpont van, az affinitás középpontja. Ide tartoznak a forgatva nyújtás, köztük a középpontos tükrözések, forgatások és középpontos hasonlóságok; a nyírva nyújtás és az Euler-affinitás.
4. Fixpont nélküli affinitások: ide tartoznak a valódi eltolások, vagy pedig egy tengelyes vagy középpontos affinitás kombinációja valódi eltolással.

A síkbeli affinitások normálformája

Alkalmas affin pontbázisválasztással minden síkaffinitás normálformára hozható. Ehhez az origót egy fixpontban jelölik ki. Amennyiben vannak fixegyenesek, úgy a koordinátatengelyeket ezek irányában jelölik ki. Persze ezek a módszerek az identitás esetén nem működnek, de ahhoz önkényesen választunk origót és tengelyeket, és amúgy is az identitásmátrixot kapjuk. Az alábbi normálformák a valós affin sík normálformáit tartalmazzák. Amennyiben nincs fixpont, úgy a leíráshoz egy ${\vec {t}}\neq 0$ vektorra is szükség van.

• Tengelyes affinitások:

• Nyírás

$A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$

• Ferdén tükrözés

$A={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

• Párhuzamos nyújtás

$A={\begin{pmatrix}1&0\\0&a\end{pmatrix}};\quad a>0$

• Középpontos affinitások: a fixpontot origónak választva, a tengelyeket az A mátrix sajátvektorainak irányába felvéve

• Forgatva nyújtás

$A=r\cdot {\begin{pmatrix}\cos(\varphi )&-\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&\cos(\varphi )\end{pmatrix}},\quad$, ahol $|r|$ a nyújtás tényezője, és $\varphi$ a forgatás szöge

• Nyírva nyújtás

$A={\begin{pmatrix}a&1\\0&a\end{pmatrix}};\quad a\in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0;1\rbrace$

• Euler-affinitás

$A={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}};\quad a\neq b;\quad a,b\in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0;1\rbrace .$

Ha $K$ a valós számok euklideszi részteste, akkor a $K^{2}$ affin sík affin transzformációi is ugyanígy csoportosíthatók; ekkor azonban a mátrixkoordinátáknak is ebből a testből kell kikerülniük, azaz $a,b,r,\cos(\varphi ),\sin(\varphi )\in K$. Forgatva nyújtások esetén azonban a $\varphi \in \mathbb {R}$ szögmértéknek nem kell testelemnek lennie.

Speciális affin transzformációk

• Egy tér önmagára vett affin transzformációja affin önleképezés. Ha egy önleképezés bijektív, akkor affinitás.
• Ha egy affinitásban minden egyenes párhuzamos a képével, akkor az dilatáció vagy homotécia. Az eltolások speciális homotéciák.
• Ha egy affin önleképezés megőrzi a pontok euklideszi távolságát, akkor az egybevágóság. Ezek a leképezések szükségszerűen bijektívek, tehát affinitások.
• Fontos nem bijektív önleképezések a merőleges vetítések. Jellegzetességük, hogy a teret egy alterére képezik le, és az adott altérre leszűkítve az altér identitását kapjuk.
• Egydimenziós affin tér önleképezéseit affin függvényeknek is nevezik.

Alkalmazások

Egy önaffin fraktálszerű alakzat a Barnsley-páfrány. A teljes levél affin transzformációval átvihető kisebb levélkéibe tükrözéssel, forgatással, skálázással és eltolással

Grafikus alkalmazások

Affin leképezéseket alkalmaznak a térképészetben és a képfeldolgozásban.

• A robotikában és a komputergrafikában a forgatás, tükrözés, skálázás, nyírás és eltolás a gyakrabban alkalmazott transzformációk. Mindezek a leképezések bijektívek.
• Ha háromdimenziós testeket akarunk két dimenzióban ábrázolni, akkor nem bijektív leképezéseket használnak:

• párhuzamos vetítés annak speciális eseteivel
• középpontos vetítés, ami nem affin, hanem projektív transzformáció
• további transzformációk, amelyek még csak nem is projektív transzformációk, lásd a Mercator-vetítés

• A vektorgrafikák standardizált leírásában szintén affin transzformációkat használnak (például SVG formátum)

Statisztikai alkalmazások

A statisztikában lineáris transzformációkkal lehet a legtöbbször találkozni.

Eloszlások jellemzése

Legyen $X$ véletlen valószínűségi változó, az $\operatorname {E} (X)$ várható értékkel és $\operatorname {Var} (X)$ szórásnégyzettel! Képezzük az $Y$ véletlen valószínűségi változót úgy, hogy az $X$ véletlen valószínűségi változó lineáris transzformáltja legyen, azaz

$Y=a+bX,$

ahol $a$ és $b$ valós számok.

Ekkor az $Y$ véletlen valószínűségi változó várható értéke

$\operatorname {E} (Y)=a+b\operatorname {E} (X),$

szórásnégyzete

$\operatorname {Var} (Y)=b^{2}\operatorname {Var} (X).$

Speciálisan, ha $X$ normális eloszlású, akkor $Y$ is normális eloszlású, a fenti paraméterekkel.

Például: Legyen $X$ pozitív szórásnégyzetű véletlen valószínűségi változó! Ekkor hasznos az

$Y={\frac {X-\operatorname {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}},$

lineáris transzformáció, mivel ekkor $Y$ az $\operatorname {E} (Y)=0$ és $\operatorname {Var} (Y)=1$ értékekkel standardizált véletlen valószínűségi változó.

Legyen ${\underline {X}}=(X_{1},\dots ,X_{p})^{T}$ valószínűségi vektorváltozó, legyen ${\underline {\mu }}_{X}$ a várható értékek vektora, és ${\underline {\Sigma }}_{X}$ az ${\underline {X}}$ valószínűségi vektorváltozó kovarianciamátrixa! Ekkor, ha az ${\underline {Y}}$ valószínűségi vektorváltozó az ${\underline {X}}$ valószínűségi vektorváltozó lineáris transzformáltja, azaz

${\underline {Y}}={\underline {a}}+{\underline {B}}\,{\underline {X}},$

ahol ${\underline {a}}$ egy $q$ dimenziós oszlopvektor és ${\underline {B}}$ egy $q\times p$ méretű mátrix; ekkor ${\underline {Y}}$ várható értéke

${\underline {\mu }}_{Y}={\underline {a}}+{\underline {B}}\,{\underline {\mu }}_{X}$

és kovarianciamátrixa

${\underline {\Sigma }}_{Y}={\underline {B}}\,{\underline {\Sigma }}_{X}\,{\underline {B}}^{T}$.

Speciálisan, ha ${\underline {X}}$ $p$-dimenziós normális eloszlású, akkor ${\underline {Y}}$ $q$ dimenziós normális eloszlású, a fent kiszámított paraméterekkel.

Példák

Az affin transzformációk pontot pontba, egyenest egyenesbe, párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe, síkokat síkokba visznek.

A képfeldolgozási alkalmazásokban affin transzformációkat használnak arra, hogy a kamerapozícióból adódó torzításokat kiküszöböljék. Például a műholdak által alkotott képek nagylátószögű objektívekkel készítik, és panorámaképeket alkotnak, képkombinációkat készítenek. A képek transzformációja és egyesítése érdekében kívánatos egy nagy, lapos koordináta-rendszer, a torzítások elkerülése érdekében. Így egyszerűsíthetők a számítások és az interakciók, melyeknek nem kell figyelembe venniük a különböző torzításokat.

Az alábbi táblázat egy sakktáblamintával mutat be különböző affin transzformációkat: identitást, eltolást, tükrözést, skálázást, forgatást és nyírást. A sakktábla bal oldala sötétebb, a tükrözés szemléltetésére:

Affin transzformáció	Mátrix	Példa
Identitás	${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Eltolás	${\begin{bmatrix}1&0&v_{x}>0\\0&1&v_{y}=0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Tükrözés	${\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Skálázás	${\begin{bmatrix}c_{x}=2&0&0\\0&c_{y}=1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Forgatás	${\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Nyírás	${\begin{bmatrix}1&c_{x}=0.5&0\\c_{y}=0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Kapcsolódó szócikkek

A Wikimédia Commons tartalmaz Affin transzformáció témájú médiaállományokat.

• Affin geometria
• Affin kombináció
• Affin koordináták
• Tengelyes affinitás

Források

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 6. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1992, ISBN 3-528-57235-3.
• Hermann Schaal, Ekkehart Glässner: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Band 1, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1976, ISBN 3-528-03056-9.
• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Affine Abbildung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.