Anger-függvény

A matematikában az Anger-függvény szorosan kapcsolódik a Bessel-függvényekhez.

Az Anger-függvényt Carl Theodor Anger német matematikusról (1803–1858) nevezték el.

A függvény definíciója:

$\mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta$

Weber-függvény

A Weber-függvény definíciója:

$\mathbf {E} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta$

A függvényt Heinrich Friedrich Weber (1843 -1912), német fizikusról nevezték el. A függvény szoros kapcsolatban van a II. fajú Bessel-függvénnyel. A Weber-függvény Lommel–Weber-függvényként is ismert.

Kapcsolat a Weber-, és az Anger-függvény között

A kapcsolat:

$\sin(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)=\cos(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)-\mathbf {E} _{-\nu }(z)$

$-\sin(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)=\cos(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)-\mathbf {J} _{-\nu }(z)$

Ha ν nem egész, akkor kifejezhetők egymás lineáris kombinációjaként . Ha ν egész, akkor az Anger-függvény J_ν, megegyezik a J_ν, Bessel-függvénnyel, és a Weber-függvény kifejezhető, mint a Struve-függvény véges lineáris kombinációja. A Weber-, és az Anger-függvények a Bessel-függvények inhomogén formáinak $z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=0$ a megoldásai.

Az Anger-függvény kielégíti a következő egyenletet:

$z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=(z-\nu )\sin(\pi z)/\pi$

és a Weber-függvény kielégíti a:

$z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=-((z+\nu )+(z-\nu )\cos(\pi z))/\pi .$

egyenletet.

Irodalom

• Reiman István: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2011. ISBN 978-963-279-300-9  
• Lizorkin, P.I: Bessel function. (hely nélkül): Springer. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4  

Kapcsolódó szócikkek

• Differenciálegyenlet
• Bessel-függvény
• Matematikai statisztika
• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Anger_function
• http://dlmf.nist.gov/11.10