A Bretschneider-formula egy geometriai összefüggés, mely a négyszögek területe és oldalaik hossza, és két szemközti szögük közötti összefüggést adja meg.
T
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
cos
2
θ
{\displaystyle T={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\theta }}}}
θ
{\displaystyle \theta \,}
Az ABCD négyszög területe a BD átló által meghatározott két háromszög területének összegével írható fel:
T
A
B
C
D
=
T
A
B
D
+
T
B
C
D
=
1
2
c
d
sin
α
+
1
2
a
b
sin
γ
{\displaystyle T_{ABCD}=T_{ABD}+T_{BCD}={\frac {1}{2}}cd\sin {\alpha }+{\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }}
4
T
A
B
C
D
2
=
(
c
d
)
2
sin
2
α
+
a
b
2
sin
2
γ
+
2
a
b
c
d
sin
α
sin
γ
{\displaystyle 4T_{ABCD}^{2}=(cd)^{2}\sin ^{2}{\alpha }+ab^{2}\sin ^{2}{\gamma }+2abcd\sin {\alpha }\sin {\gamma }}
koszinusz tételt alkalmazva:
c
2
+
d
2
−
2
c
d
cos
α
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle c^{2}+d^{2}-2cd\cos {\alpha }=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\gamma }\,}
1
4
(
c
2
+
d
2
−
a
2
−
b
2
)
2
=
(
c
d
)
2
cos
2
α
−
2
a
b
c
d
cos
α
cos
γ
+
(
a
b
)
2
cos
2
γ
{\displaystyle {\frac {1}{4}}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}=(cd)^{2}\cos ^{2}{\alpha }-2abcd\cos {\alpha }\cos {\gamma }+(ab)^{2}\cos ^{2}{\gamma }\,}
4
T
A
B
C
D
2
+
1
4
(
c
2
+
d
2
−
a
2
−
b
2
)
2
=
(
c
d
)
2
+
(
a
b
)
2
−
2
a
b
c
d
cos
(
α
+
γ
)
{\displaystyle 4T_{ABCD}^{2}+{\frac {1}{4}}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}=(cd)^{2}+(ab)^{2}-2abcd\cos({\alpha +\gamma })}
16
T
A
B
C
D
2
=
(
c
+
d
+
a
−
b
)
(
b
+
c
+
d
−
a
)
(
a
+
b
+
c
−
d
)
(
a
+
b
+
d
−
c
)
−
16
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle 16T_{ABCD}^{2}=(c+d+a-b)(b+c+d-a)(a+b+c-d)(a+b+d-c)-16abcd\cos ^{2}({\frac {\alpha +\gamma }{2}})}
θ
{\displaystyle \theta \,}
s
=
a
+
b
+
c
+
d
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}
θ
=
α
+
γ
2
{\displaystyle \theta ={\frac {\alpha +\gamma }{2}}\,}
T
2
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
cos
2
θ
{\displaystyle T^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\theta }\,}
T
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
cos
2
θ
{\displaystyle T={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\theta }}}}
Húrnégyszögek (Brahmagupta-tétel)
szerkesztés
A Bretschneider-formula egyik leggyakoribb felhasználása a húrnégyszögek területének kifejezése oldalaik hosszának, és a húrnégyszög félkerületének segítségével.
T
A
B
C
D
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle T_{ABCD}={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
Az ABCD húrnégyszög területe a BD átló által meghatározott két háromszög területének összegével írható fel:
T
A
B
C
D
=
T
A
B
D
+
T
B
C
D
=
1
2
c
d
sin
α
+
1
2
a
b
sin
γ
{\displaystyle T_{ABCD}=T_{ABD}+T_{BCD}={\frac {1}{2}}cd\sin {\alpha }+{\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }}
α
{\displaystyle \alpha }
γ
{\displaystyle \gamma }
γ
=
180
∘
−
α
{\displaystyle \gamma {}=180^{\circ }-\alpha {}}
sin
α
=
sin
γ
{\displaystyle \sin {\alpha }=\sin {\gamma }\,}
T
A
B
C
D
2
=
1
4
(
c
d
+
a
b
)
2
sin
2
α
{\displaystyle T_{ABCD}^{2}={\frac {1}{4}}(cd+ab)^{2}\sin ^{2}{\alpha }}
4
T
A
B
C
D
2
=
(
c
d
+
a
b
)
2
(
1
−
cos
2
α
)
{\displaystyle 4T_{ABCD}^{2}=(cd+ab)^{2}(1-\cos ^{2}{\alpha })}
4
T
A
B
C
D
2
=
(
c
d
+
a
b
)
2
−
(
c
d
+
a
b
)
2
cos
2
α
{\displaystyle 4T_{ABCD}^{2}=(cd+ab)^{2}-(cd+ab)^{2}\cos ^{2}{\alpha }}
koszinusz tételt az ABD és a BCD háromszög DB oldalára:
c
2
+
d
2
−
2
c
d
cos
α
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle c^{2}+d^{2}-2cd\cos {\alpha }=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\gamma }\,}
c
2
+
d
2
−
2
c
d
cos
α
=
a
2
+
b
2
+
2
a
b
cos
α
{\displaystyle c^{2}+d^{2}-2cd\cos {\alpha }=a^{2}+b^{2}+2ab\cos {\alpha }\,}
c
2
+
d
2
−
a
2
−
b
2
=
2
(
a
b
+
c
d
)
cos
α
{\displaystyle c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}=2(ab+cd)\cos {\alpha }\,}
4
T
A
B
C
D
2
=
(
c
d
+
a
b
)
2
−
1
4
(
c
2
+
d
2
−
a
2
−
b
2
)
2
{\displaystyle 4T_{ABCD}^{2}=(cd+ab)^{2}-{\frac {1}{4}}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}}
16
T
A
B
C
D
2
=
4
(
c
d
+
a
b
)
2
−
(
c
2
+
d
2
−
a
2
−
b
2
)
2
{\displaystyle 16T_{ABCD}^{2}=4(cd+ab)^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}}
16
T
A
B
C
D
2
=
(
2
(
c
d
+
a
b
)
+
c
2
+
d
2
−
a
2
−
b
2
)
(
2
(
c
d
+
a
b
)
−
c
2
−
d
2
+
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle 16T_{ABCD}^{2}={\Big (}{2(cd+ab)+c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{\Big )}{\Big (}{2(cd+ab)-c^{2}-d^{2}+a^{2}+b^{2}}{\Big )}}
16
T
A
B
C
D
2
=
(
(
c
+
d
)
2
−
(
a
−
b
)
2
)
(
(
a
+
b
)
2
−
(
c
−
d
)
2
)
=
(
c
+
d
+
b
−
a
)
(
c
+
d
−
b
+
a
)
(
b
+
a
+
c
−
d
)
(
b
+
a
−
c
+
d
)
{\displaystyle 16T_{ABCD}^{2}={\Big (}{(c+d)^{2}-(a-b)^{2}}{\Big )}{\Big (}(a+b)^{2}-(c-d)^{2}{\Big )}=(c+d+b-a)(c+d-b+a)(b+a+c-d)(b+a-c+d)}
s
=
a
+
b
+
c
+
d
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}
16
T
A
B
C
D
2
=
16
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle 16T_{ABCD}^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
T
A
B
C
D
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle T_{ABCD}={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
Háromszögek (Hérón-képlet)
szerkesztés
T
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
{\displaystyle T={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)s}}}
Az állítás következik a húrnégyszögekre bebizonyított alakból, ha a háromszöget olyan elfajult húrnégyszögnek tekintjük, melynek két csúcsa egybeesik.
