CIR-folyamat

A CIR-folyamat egy ergodikus folyamat, mely állandó eloszlással rendelkezik. Ezt a folyamatot széles körben alkalmazzák gazdasági számításoknál, a rövidlejáratú kamatláb számításakor. A Heston-modellnél a sztochasztikus illékonyság számításához használják. A folyamat John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll, és Stephen A. Ross matematikusokról kapta a nevét. A CIR-folyamat egy Markov-folyamat, melyet a következő sztochasztikus differenciálegyenlet definiál:

$dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW_{t}$

ahol W_t is a Wiener-folyamat, mely a véletlenszerű piaci kockázatot modellezi.

A drift tényező = a(b − r_t). A $\sigma {\sqrt {r_{t}}}$ szórás kivédi a lehetőséget, hogy a kamatláb negatívvá váljon a és b pozitív értékei mellett. A zéró kamatláb ki van zárva, ha:

$2ab\geq \sigma ^{2}\,$

A folyamat definiálható a négyzetes Ornstein–Uhlenbeck-folyamat összegeként is.

Jövőbeli eloszlás

A CIR-folyamat jövőbeli eloszlása a következő kifejezéssel számítható:

$r_{t+T}=r_{t}+cY$,

ahol $c={\frac {(1-e^{-aT})\sigma ^{2}}{2a}}$, és Y a nem-centrális Khí-négyzet eloszlás, ${\frac {4ab}{\sigma ^{2}}}$ szabadságfokkal, és $2cr_{t}e^{-aT}$ nem-centrális paraméterrel. A CIR-folyamat egy speciális esete az alapvető AJD sztochasztikus folyamatnak, mely lehetővé teszi a kötvények áralakulásának kifejezését zárt formában.

Irodalom

• Hull, John C.. Options, Futures and Other Derivatives. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall (2003). ISBN 0-13-009056-5 
• Cox, J.C., J.E. Ingersoll and S.A. Ross (1985). „A Theory of the Term Structure of Interest Rates”. Econometrica 53, 385–407. o. DOI:10.2307/1911242.  
• Maghsoodi, Y. (1996). „Solution of the extended CIR Term Structure and Bond Option Valuation”. Mathematical Finance (6), 89–109. o.  
• Damiano Brigo, Fabio Mercurio. Interest Rate Models — Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit, 2nd ed. 2006, Springer Verlag (2001). ISBN 978-3-540-22149-4 
• Brigo, Damiano and Fabio Mercurio (2001b). „A deterministic-shift extension of analytically tractable and time-homogeneous short rate models”. Finance & Stochastics 5 (3), 369–388. o.  

Kapcsolódó szócikkek

• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Heston-modell
• Wiener-folyamat
• Markov-folyamat