Csoportelmélet

matematikai fogalom

A matematikában, azon belül az absztrakt algebrában a csoportelmélet a csoport nevű algebrai struktúrával foglalkozik. A csoport fogalma központi szerepet játszik az absztrakt algebrában: más fontos algebrai struktúrák, mint a gyűrűk vagy a vektorterek, mind felfoghatóak műveletekkel és axiómákkal kiegészített csoportokként.

Különböző fizikai rendszerek, mint a kristályok vagy a hidrogénatom, modellezhetőek szimmetriacsoportokkal. Ezért a csoportelméletnek és az azzal közeli kapcsolatban álló ábrázoláselméletnek rengeteg alkalmazása van a fizikában és a kémiában.

Történet szerkesztés

Tudománytörténeti szempontból a csoportelméletnek két fő ágát vagy irányát különböztethetjük meg: egy „elméletit” és egy „alkalmazottat”. A csoportfogalom felfedezése elsősorban „elméleti” okoknak, az algebrai egyenletek vizsgálatának köszönhető. Csoportok elméletének alapjait az 1830-as években rakta le Évariste Galois francia matematikus, és halála miatt 1846-ban publikálta Joseph Liouville.

Már Lagrange észrevette, hogy a gyökök permutálásának egymás utáni elvégzése ismét a gyökök egy permutációját eredményezi, sőt vannak az összes permutáción belül olyan még kisebb csoportok, melyek „együtt maradnak” (azaz a csoport elemeinek permutálása csoportbeli elemmel nem ad a csoporton kívüli elemet). Az erre irányuló vizsgálatokat Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel és Évariste Galois folytatta. Így alakult ki az első fontos csoportelméleti fogalom, a permutációcsoport fogalma. Galois ezek segítségével oldott meg egy régi és nagyon nehéz problémát, az algebrai egyenletek gyökképlettel való megoldhatóságának problémáját. A „csoport” elnevezés is tőle származik.

A csoportaxiómáknak megfelelő tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás stb.) bevezetését az angol algebrai iskola már korábban megtette; erre alapozva Arthur Cayley vezette be a csoport absztrakt fogalmát, s ezzel a csoportelmélet meghaladta a puszta permutációcsoportok elméletét (lehetővé téve a másféle, igen fontos alkalmazásokat). Cayley nevéhez fűződik annak az egyszerű tételnek a bizonyítása, hogy „lényegében minden csoport egy permutációcsoport” (reprezentációs tétel). Ő vezette be a művelettábla (Cayley-tábla)), a Cayley-gráf és a hasonló, a szemléltetést könnyítő hasznos fogalmakat. Richard Dedekind kiterjesztette a csoport fogalmát kommutatív csoportokra is.

Az első komoly alkalmazások (már ha Galois eredményét szintén elméletinek tekintjük) Felix Klein (ld. erlangeni program) és Sophus Lie nevéhez fűződnek.

A csoportelméletnek ma különösen nagy szerepe van más tudományokban is: a „kristályosodási csoportok” a kémiában és geológiában, bizonyos transzformációk szimmetriacsoportjai pedig az elméleti fizikában központi jelentőségűek.

A csoport definíciói, alapfogalmak szerkesztés

A csoport olyan (G, ·) egyműveletes algebrai struktúra, ahol G tetszőleges nemüres halmaz, · pedig egy ·(x,y): G×G → G, azaz a G-beli elempárokhoz G-beli elemeket rendelő függvény, melyekre teljesülnek az alábbi tulajdonságok (csoportaxiómák):

A1). Az a,b,c eleme G elemre (a·b)·c = a·(b·c) (asszociativitás);
A2). Az e eleme G, amelyre a eleme G esetén: e·a = a·e = a (neutrális elem létezése);
A3). Az a eleme G elemhez minden, az A2). tulajdonságot teljesítő e eleme G esetén
található olyan a^-1 , amelyre a·a^-1 = a^-1·a = e
(inverzelemek létezése).

Belátható, hogy bármely csoportban a neutrális elem egyértelmű, és minden elemnek pontosan egy inverze létezik.

A neutrális elemet az egyszerűség és a könnyebb szemléltethetőség kedvéért gyakran egységelemnek vagy nullelemnek nevezik.

Belátható, hogy egy (G,·) algebrai struktúra akkor és csak akkor csoport, ha teljesül A1). és a következő A2'). tulajdonság:

A2'). Tetszőleges a,b eleme G esetén léteznek olyan x,y eleme G elemek,
melyekre a·x = b és y·a = b teljesül
(az a·x = b és y·a = b egyenletek
megoldhatóak G-ben x-re és y-ra)
T1. tétel: Bármely csoportban legfeljebb egy egységelem létezik, az egységelem egyértelmű.
Biz.: Legyen e,f eleme G egységelem G-ben, ekkor tetszőleges a eleme G-re a·e = e·a = a és a·f = f·a = a is teljesül A1). szerint. Ekkor persze f-re is teljesül az a·e = e·a = a egyenlőség miatt f·e = e·f = f, e-re pedig az a·f = f·a = a egyenlőség alapján e·f = f·e = e. Minthogy az egyenlőség tranzitív reláció, e·f = f és e·f = e alapján f = e, azaz bármely két egységelem egyenlő, tehát tényleg nincs két különböző egységelem.
T2. következmény: Bármely (G,·) csoportnak pontosan egy egységeleme van.
Biz.: A2) alapján létezik egységelem, T1) alapján pedig ha létezik, akkor pontosan egy létezik, ebből következően létezik is, és pontosan egy létezik.

Egy csoport rendjén elemeinek számát értjük, és |G|-vel jelöljük.

Hatványozás. Az általánosított asszociativitási tétel (GAT). szerkesztés

Részcsoportok szerkesztés

Ha a   csoport egy   részhalmaza maga is csoportot alkot a  -ra leszűkített   művelettel, akkor  -t a   részcsoportjának v. alcsoportjának nevezzük (  a   leszűkítése). A részcsoport jelölése:  . Részcsoportok metszete maga is részcsoport; részcsoportok uniója általában nem az.

Ha  , akkor  -t   valódi részcsoportjának nevezzük.

Megjegyzések:

  •   nem lehet üres, hiszen legalább az egységelemet tartalmazza.
  •   rendje osztja   rendjét.

Mellékosztályok szerkesztés

Legyen   és  . Ekkor

  • az   halmazt     szerinti bal oldali mellékosztályának, illetve
  • a   halmazt     szerinti jobb oldali mellékosztályának nevezzük.

Megjegyzések:

  • Általános esetben a bal és jobb oldali mellékosztályok különböznek.
  • Két bal oldali (ill. jobb oldali) mellékosztály vagy megegyezik vagy nincs közös elemük, és a bal oldali (ill. jobb oldali) mellékosztályok lefedik a teljes  -t (azaz uniójuk előállítja  -t).
  • Az egyes mellékosztályok számossága megegyezik (megegyezik tehát   rendjével).

Lagrange tétele szerkesztés

Az előző szakasz megjegyzései alapján: véges csoport tetszőleges részcsoportjához tartozó mellékosztályok száma (amit a részcsoport indexének nevezünk és így jelölünk:   ) osztója a csoport rendjének.   rendje maga is osztója   rendjének, és  . Ez Lagrange tétele.

Normálosztó, faktorcsoport szerkesztés

Egy G csoport N részcsoportja normálosztó ha jobb oldali és bal oldali mellékosztályai megegyeznek, azaz G minden g elemére   teljesül. Jelben  .

Ekkor az N mellékosztályai által alkotott csoportot faktorcsoportnak nevezzük és G/N-nel jelöljük.

Homomorfizmus és izomorfizmus. Homomorfizmus-tétel szerkesztés

Legyen   és   két csoport és legyen   : G → H olyan leképezés, hogy tetszőleges   elemekre  . Az ilyen   leképezést homomorfizmusnak nevezzük. Speciálisan, ha   bijektív, akkor a homomorfizmust izomorfizmusnak hívjuk, és azt mondjuk, hogy   és   izomorf csoportok.

Ha  , azaz    -t önmagára képező izomorfizmus, akkor speciálisan azt mondjuk, hogy   a   csoport automorfizmusa. Tetszőleges   csoport automorfizmusai csoportot alkotnak a függvénykompozícióra mint műveletre nézve. Ennek a csoportnak a jele  , egységeleme az identikus leképezés.

Legyen    -t  -ba képező homomorfizmus. Azoknak a   elemeknek a halmazát, amelyekre  , a   homomorfizmus magjának nevezzük és  -vel jelöljük.   elemei csoportot alkotnak, méghozzá   normálosztó  -ben.

A   faktorcsoport izomorf  -vel. Ez az állítás homomorfizmus-tétel néven ismert.

Centrum, centralizátor szerkesztés

Legyen   tetszőleges csoport. Azoknak a   elemeknek a halmazát, amelyekre igaz az, hogy   minden  -re,   centrumának nevezzük és (a német Zentrum szóból eredően, hagyományosan)  -vel jelöljük.   sohasem üres halmaz, mert  ,   elemei csoportot alkotnak, mi több  .   akkor és csak akkor kommutatív, ha  .

Legyen  . Azoknak az   csoportelemeknek a halmazát, amelyekre igaz az, hogy  ,   centralizátorának nevezzük és  -val jelöljük.   sohasem üres halmaz, mert  , sőt   csoport.   az a – tartalmazást tekintve – legbővebb csoport, amelyben   még centrumelem;   .   az összes elem centralizátorának a metszete.

Konjugálás, konjugáltosztályok, osztályegyenlet szerkesztés

Legyen   csoport. Egy   csoportelemnek egy   csoportelemmel vett konjugáltját az   kifejezéssel definiáljuk.

Megjegyzések:

  • A fönti definícióval  ,  ,   és   (  a   egységeleme,   tetszőlegesek).
  • Egyes szerzők a konjugáltat az   kifejezéssel definiálják (akkor az előző megjegyzés 2. egyenlete helyett az   teljesül), illetve az   jelölést is használják (amiből nem derül ki, hogy melyik elemmel konjugáltak).

Vezessük be   elemei között a   relációt a következőképpen: az   csoportelemekre  . Könnyen belátható, hogy   ekvivalenciareláció, tehát   szerint   diszjunkt elemosztályokra bontható, amelyeket konjugáltosztályoknak nevezünk. Két csoportelem pontosan akkor van ugyanabban a konjugáltosztályban, ha azok egymás konjugáltjaiként előállíthatók.

A konjugáltosztályok általában nem részcsoportok. Egy részcsoport éppen akkor normálosztó, ha előáll teljes konjugáltosztályok uniójaként. Speciálisan a csoport centruma épp az egyelemű konjugáltosztályok uniója.

Az  -t tartalmazó konjugáltosztály rendje megegyezik   indexével. Ezért véges csoportban a konjugáltoszályok rendje osztója a csoport rendjének. Jelölje   a   csoport egynél több elemű konjugáltosztályait. Mivel a konjugáltosztályok  -nek partícióját alkotják, felírható az alábbi, osztályegyenletnek nevezett egyenlőség:

 

Itt jobb oldalon minden tag osztója   rendjének.

Megjegyzés. Az osztályegyenletből egyszerű számolással következik, hogy ha  , ahol   prím, akkor   nem egyelemű. Valóban, a  -k mind oszthatók  -vel, csakúgy mint  , ezért   is osztható  -vel.

Abel-csoportok. Bázis szerkesztés

Abel-csoportnak a kommutatív csoportokat nevezzük. Ilyenek például az egy elem hatványaiból álló ciklikus csoportok. Ezekből direkt szorzással újabb Abel-csoportokat kapunk.

Ha Abel-csoportokról van szó, akkor az asszociatív műveletet sokszor összeadásnak hívják, és additív jelölést használnak.

További példák Abel-csoportokra:

Véges Abel-csoportok alaptétele (VAT) szerkesztés

Egy véges Abel-csoport prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzatával izomorf. A prímhatvány rendek és a tényezők multiplicitása egyértelműen meghatározottak.

Egyszerű csoportok szerkesztés

Egy csoport egyszerű, ha csak triviális normálosztója van (az egész csoport és az egységelemből álló csoport). Szokás szerint nem számítjuk az egyszerű csoportok közé a kommutatívakat, tehát az egyelemű, illetve prímrendű ciklikus csoportokat. A csoportelmélet egyik nevezetes problémája a véges egyszerű csoportok leírása, azzal a (kissé leegyszerűsített) meggondolással, hogy a véges csoportok amúgy is egyszerű csoportokból, csoportbővítéssel, állnak elő, ezért bármilyen probléma megoldható, ha megoldjuk véges egyszerű csoportokra és leírjuk a bővítéseken való viselkedését.

A véges egyszerű csoportok leírása a matematika leghosszabb bizonyítása, sokáig kb 10.000 oldal volt, de 1982-ben sikerült lerövidíteni a bizonyítást kb. 5000 oldalra. Sok matematikus dolgozott rajta sok évig, és ez a bizonyítás nem egy könyvben van leírva, hanem rengeteg egymásra hivatkozó cikk formájában matematikai folyóiratokban, amit lehetetlen teljes egészében áttekinteni, és többen kételkednek a „bizonyítás” bizonyítás voltában az olyan jellegű kereszthivatkozások miatt, hogy: „amennyiben igaz az A tétel, akkor abból következik, hogy…”.

Sylow-csoportok szerkesztés

Legyen p prím. A P részcsoport p-Sylow-csoport, ha rendje  , ahol   nem osztója a G csoport rendjének.

A Sylow-csoportokról szólnak a Sylow-tételek.

I. Tétel - Legyen a G véges csoport rendje n=m*p^h, ahol p prím, h>=1, p nem osztója m-nek. Ekkor minden k<=h van G-nek p^k rendű részcsoportja, amit normálosztóként tartalmaz egy p^(k+1) rendű részcsoport.

Meg kell még említeni a Cauchy-tételt, amit egyes felépítésekben lemmaként használnak a tételhez, míg más felépítésekben következményként adódik.

Tétel - minden olyan p prímre, amely osztja a G csoport rendjét, van p rendű elem G-ben.

II. Tétel - Adott p prímre, amely osztója a G csoport rendjének, G összes P-Sylowja konjugált. Sőt, az összes p^k rendű részcsoport konjugált egymással, ahol 1<=k<=h

Következmény - G összes P-Sylowja izomorf

Következmény - a p-Sylowok száma osztója m-nek

III. Tétel - A p-Sylowok száma p-vel osztva 1-et ad maradékul.

Számos alkalmazásuk van, erős eszközt adnak.

Normállánc szerkesztés

Egy G csoport normálláncának azokat a G részcsoportjaiból alkotott sorozatokat nevezzük, ahol minden egyes tag normálosztója az előzőnek.  .

Itt r akár 0 is lehet.

A normállánc faktorai az  /  faktorcsoportok. Két normállánc izomorf, ha faktoraik ugyanazok.

Az   lánc az L finomítása, ha L összes elemét tartalmazza, és hosszabb.

A normállánc kompozíciólánc, ha tovább nem finomítható. Nem minden csoportnak van ilyen, de a végeseknek van.

Honnan ismerjük fel, hogy valóban kompozícióláncot kaptunk?

Állítás - Egy normállánc akkor és csak akkor kompozíciólánc, ha minden faktora egyszerű csoport.

Véges csoportokra van még a Jordan–Hölder-tétel a kompozícióláncokról

Tétel - Véges csoport bármely két kompozíciólánca izomorf.

Feloldható csoportok szerkesztés

A G csoportot feloldhatónak nevezzük ha van olyan normállánca, amelynek minden faktora Abel-csoport. Feloldható csoport minden részcsoportja és faktorcsoportja is feloldható. Legyen H G-nek normális részcsoportja. Ha G/H és H feloldható csoportok, akkor G is feloldható.

Példák:

  • Sn akkor és csak akkor feloldható, ha n<5.
  • Speciálisan, S4 negyedfokú szimmetrikus csoport feloldható.
  • Minden Abel-csoport feloldható.

Nilpotens csoportok szerkesztés

A G csoport egy normálláncát centrálláncnak nevezünk, ha a normállánc minden eleme normálosztó a teljes csoportban, és a normállánc szomszédos elemeinek faktorcsoportja részcsoportja G centrumának. G-t nilpotensnek nevezünk, ha létezik véges centrállánca. A definícióból azonnal következik, hogy a nilpotens csoportok feloldhatóak.

Ha G nilpotens, akkor minden centrálláncának ugyanaz a hossza. Ezt a közös hosszúságot G nilpotenciaosztályának nevezzük. Minden Abel-csoport nilpotens, és nilpotenciaosztálya 1. További, kevésbé triviális példák a nilpotens csoportokra a p-csoportok. Minden véges csoport Frattini-részcsoportja is nilpotens.

Szabad csoportok szerkesztés

Legyen X adott halmaz. Képezzük X elemeinek formális inverzét, ezek alkotják az X^-1 halmazt. Az X fölötti szabad csoport azokból a szavakból áll, amelyeket X és X^-1 elemeiből képezhetünk. Egyenlőnek tekintjük azokat a szavakat, amelyek xx^-1 és x^-1x alakú szavak beírásával és törlésével egymásba alakíthatók.

Állítás - ha két szó egymásba alakítható, akkor elég törölni az xx^-1 és x^-1x-eket.

A szabad csoport művelete a konkatenáció, vagyis a szavak egymás után írása. A csoport egységeleme az üres szó, amit sokszor 1 -gyel jelölnek. Egy szó inverzében ugyanazok a betűk szerepelnek, mint az adott szóban, csak megfordítva és invertálva. Belátható, hogy a csoportaxiómák teljesülnek.

Gráfreprezentáció szerkesztés

Permutációcsoport szerkesztés

Az   részcsoportjait valamilyen n pozitív egészre permutációcsoportoknak nevezzük.

Cayley tétele szerint minden véges csoport reprezentálható permutációcsoportként.

Reguláris reprezentáció: feleltessük meg h eleme G-nek a következő permutációt:

 ,

ahol   a G csoport összes eleme felsorolva.

Példák permutációcsoportokra: különféle alakzatok szimmetriái: sokszögek, kocka,…

Orbit és stabilizátor szerkesztés

Legyen most G permutációcsoport   fölött.

  egy x elemének orbitja, más néven pályája azokat az   -beli elemeket tartalmazza, amelyekbe átvihető valamely g eleme G vel. x stabilizátora azokból a g eleme G -kből áll, amik x -et fixen hagyják. Ez részcsoport G-ben.

Tétel - Orbit-stabilizátor tétel: x orbitjának elemszáma egyenlő x stabilizátorának indexével G -ben. (Következésképpen az orbitok elemszáma osztja a csoport rendjét.)

A G csoport tranzitív, ha   bármely két i,j eleméhez van g eleme G, ami átviszi i-t j -be. G n-szeresen tranzitív, ha bárhogy is írunk elő két n - est   elemei közül, akkor van g eleme G, ami átviszi az első n -est a másodikba. Ha G tranzitív, akkor   valamennyi eleme egyetlen orbithoz tartozik.

Példa - kocka szimmetriacsoportja

Legyen A a kocka egyik csúcsa. Átvihető a szomszédos csúcsokba forgatással vagy élsíkra tükrözéssel. Több lépésben akárhova. Orbitja az összes csúcs, ez 8 elem. Stabilizátorának rendjét 8-cal szorozva a kocka szimmetriacsoportjának rendjét kapjuk.

Hatás szerkesztés

Legyen G csoport. G hat az X halmazon, ha teljesülnek a következők:

  • ha g elemeG, x eleme X, akkor gx eleme X,
  • gh*x=g*(h*x)
  • 1 egységeleme G-nek, 1*x=x

Példák

  • a G csoport hat önmagán balról vagy jobbról szorzással
  • a G csoport hat önmagán konjugálással
  • a kocka permutációcsoportja hat a kocka élein, lapjain

További információk szerkesztés

Források szerkesztés

  • Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
  • Fried Ervin: Algebra I.
  • Pelikán József: Algebra I.