Ekvivalenciareláció

reflexív, szimmetrikus és tranzitív reláció

A matematikában ekvivalenciareláció (vagy röviden ekvivalencia) alatt olyan relációt értünk, amely egyszerre reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

Definíció szerkesztés

Legyen   tetszőleges reláció az   halmazon. Azt mondjuk, hogy a   reláció ekvivalenciareláció, ha az alábbi három feltétel teljesül:

  • a   reláció reflexív, azaz minden   esetén   teljesül,
  • a   reláció szimmetrikus, azaz minden   esetén ha   teljesül, akkor   is teljesül,
  • a   reláció tranzitív, azaz minden   esetén ha   és   teljesül, akkor   is teljesül.

Tulajdonságok szerkesztés

  • Minden   ekvivalenciareláció egyértelműen meghatároz egy osztályozást azon az   halmazon, amelyen a reláció definiálva van: az   elemek pontosan akkor kerülnek egy osztályba ebben az osztályozásban, ha   teljesül.
  • Fordítva: valamely   halmaz minden osztályozása egyértelműen meghatároz egy ekvivalenciarelációt az adott halmazon. Ennél az ekvivalenciarelációnál pontosan azok az elemek állnak relációban egymással, amelyek az osztályozásnak ugyanabban az osztályában vannak.

Példák szerkesztés

Hivatkozások szerkesztés

  • Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
  • Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged, 1994

További információk szerkesztés