Erlang-eloszlás
Az Erlang-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás. Az eloszlást Agner Krarup Erlang (1878–1929) dán matematikus fejlesztette ki, amikor azonos időben keletkező telefonhívásokat vizsgált a koppenhágai telefonközpontban. Ez a munka később kiterjedt a várakozási idők vizsgálatára, és ezzel elindult a sorbanállási elmélet kialakulása. Ezt az eloszlást sztochasztikus folyamatok, és biomatematikai problémák elemzésére is használják.
Áttekintés szerkesztés
Az eloszlás folytonos, értéke pozitív minden nullánál nagyobb valós számra, és két paraméterrel szokták jellemezni: az alakparaméterrel ( ), mely pozitív egész, és a gyakorisággal ( ), mely szintén pozitív valós szám. Az eloszlást néha az inverz gyakoriság paraméterrel is jellemzik ( ). Az eloszlás független exponenciális változó összege középértékkel. Ha az alakparaméter =1, akkor az eloszlás exponenciális eloszlásra egyszerűsödik. Az Erlang-eloszlás a gamma-eloszlás olyan speciális esete, amelynél a egész szám. A gamma eloszlásnál ez a paraméter nem csak egész lehet.
Jellemzők szerkesztés
Sűrűségfüggvény szerkesztés
, az alakparaméter, , a gyakoriság paraméter. Egy alternatív, de ekvivalens parametrizálás (gamma-eloszlás) a skálaparamétert használja, mely a gyakoriság paraméter reciproka ( ):
Amikor =2, akkor az eloszlás khi-négyzet eloszlássá egyszerűsödik 2k szabadságfokkal. Páros számú szabadságfok esetén ez az általános khi-négyzet eloszlás. A nevező faktoriális függvénye miatt az Erlang-eloszlás csak k, pozitív egész értékeire értelmezhető. A gamma-eloszlás kiterjeszti az Erlang-eloszlást k bármely valós értékére, a gamma-függvényt használva a faktoriális helyett.
Kumulatív eloszlásfüggvény szerkesztés
ahol az alsó inkomplett gamma-függvény. A kumulatív eloszlásfüggvény másik kifejezése:
Várakozási idők szerkesztés
Átlagos gyakorisággal, függetlenül bekövetkező események a Poisson-folyamattal modellezhetők. k előfordulási gyakoriságú események közötti várakozási idők Erlang-eloszlásúak (egy adott időben előforduló események számát a Poisson-eloszlás írja le). Az Erlang-eloszlás, mely a bejövő hívások közötti időt méri, felhasználható a bejövő hívások várható időtartamának jellemzésére, így információ kapható a forgalmi terhelésről Erlang-egységben mérve. Ez felhasználható a csomagveszteség és késleltetések valószínűségének meghatározására is (Erlang B formula, Erlang C formula). Az Erlang B, és Erlang C formula ma is használatos call centerek forgalmi modellezésénél. Az Erlang B eloszlás felhasználható call centereknél a trönkök tervezésekor. Az Erlang C eloszlás arra használható, hogy a hívásoknak mennyit kell várni, míg kezelővel kerülhetnek kapcsolatba.
Irodalom szerkesztés
- Sundarapandian, V: Queueing Theory. Probability, Statistics and Queueing Theory. (hely nélkül): . PHI Learning. 2009. ISBN 8120338448