Gompertz-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Gompertz-eloszlás egy folytonos valószínűségi eloszlás. Ez az eloszlás főként az időskori halálozási valószínűség modellezésre szolgál. Biztosítási matematikában, biológiai tudományokban és demográfiában a Gompertz-eloszlásnak egy általánosabb formáját is használják (Gompertz–Makeham mortalitási törvény).

Tulajdonságok szerkesztés

Valószínűség-sűrűségfüggvény szerkesztés

A Gompertz-eloszlás valószínűség-sűrűségfüggvénye:

f\left(x;\eta ,b\right)=b\eta e^{bx}e^{\eta }\exp \left(-\eta e^{bx}\right){\text{for }}x\geq 0,\,

ahol $b>0\,\!$ a skálaparaméter, és $\eta >0\,\!$ az alakparaméter.

Kumulatív eloszlásfüggvény szerkesztés

A Gompertz-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:

F\left(x;\eta ,b\right)=1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right),

ahol $\eta ,b>0,$ és $x\geq 0\,.$

Momentumgeneráló függvény szerkesztés

{\text{E}}\left(e^{-tX}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)

ahol

{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\int _{1}^{\infty }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\ t>0.

A függvény alakja szerkesztés

A Gompertz-eloszlás flexibilis eloszlási függvény, ahol a görbe ferdesége jobbra és balra is elmozdulhat. A Gompertz-eloszlás függvény különböző formákat (alakzatokat) vehet fel, az alakparaméter ( $\eta \,\!$ ) értékétől függően:

Ha $\eta \geq 1,\,$ , a valószínűség-sűrűségfüggvény 0 modusú.
Ha $0<\eta <1,\,$ a valószínűség-sűrűségfüggvény modusa

x^{*}=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right){\text{with }}0<F\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0,632121

Kapcsolódó eloszlások szerkesztés

Ha X a Gumbel-eloszlásból eredő mintavétel eredménye, amíg Y negatív, és X=–Y, akkor X-nek Gompertz-eloszlása van.
A Gamma-eloszlás a Gompertz-eloszlás egy természetes konjugáltja, az ismert $b\,\!.$ skálaparaméterrel.
Amikor $\eta \,\!$ a gamma-eloszlás szerint változik, $\alpha \,\!$ alakparaméterrel, és $\beta \,\!$ skálaparaméterrel, akkor az $x$ eloszlása Gamma/Gompertz.

Gompertz-eloszlás sűrűségfüggvény

Gompertz kumulatív eloszlásfüggvény

Irodalom szerkesztés

Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas: Implementing the Gamma/Gompertz/NBD Model in MATLAB. (hely nélkül): Cergy-Pontoise: ESSEC Business School. 2011.
Sheikh, A. K.; Boah, J. K.; Younas, M: Truncated Extreme Value Model for Pipeline Reliability. (hely nélkül): Reliability Engineering and System Safety 25 (1). 1989. 1–14. o.