Harmonikus szám

Nem tévesztendő össze a következővel: osztóharmonikus számok.

A matematikában az n-edik harmonikus szám az első n pozitív egész szám reciprokának az összege:

H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.

Ez egyébként egyenlő ezen számok harmonikus közepe reciprokának az n-szeresével.

Harmonikus szám $H_{n,1}$ , $n=\lfloor {x}\rfloor$ (vörös vonal) és az aszimptotikus korlátja $\gamma +\ln[x]$ (kék vonal)

A harmonikus számokat már az ókorban is tanulmányozták, és a számelméletben fontos szerepet töltenek be. A harmonikus sor részletösszegei, és szorosan kapcsolódnak a Riemann-féle zéta-függvényhez. Amikor egy nagy volumenű mennyiség a Zipf-törvény szerinti eloszlást mutat, a legértékesebb tétel az n-edik harmonikus. Ez számos meglepő eredményhez vezet a hosszú farok- és a hálózatelméletben.

Képletek szerkesztés

Az integrállal történő kifejezés Eulertől ered:

H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}\,dx.

A fenti egyenlőség nyilvánvalóan következik az alábbi egyenlőségből:

\quad {\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}

Elegáns kombinatorikai kifejezés nyerhető $\,H_{n}$ -re, felhasználva egy egyszerű transzformációt: $\,x=1-u$ :

{\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}\,dx=-\int _{1}^{0}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}

Hasonló kifejezés nyerhető a harmadik Retkes-azonosság felhasználásával:

$x_{1}=1,\ldots ,x_{n}=n$ , és felhasználva a tényt: $\Pi _{k}(1,\ldots ,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!$ .

$H_{n}=H_{n,1}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=(-1)^{n-1}n!\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}\Pi _{k}(1,\ldots ,n)}}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}$

H_n közel úgy nő, mint az n természetes logaritmusa. Ennek az oka, hogy az összeg közelíthető egy integrállal:

\int _{1}^{n}{1 \over x}\,dx

melynek értéke: ln(n).

H_n - : ln(n) sor monoton csökken a korlátja felé:

\lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma

(ahol γ az Euler–Mascheroni-konstans: 0,5772156649...), és a megfelelő aszimptotikus kiterjesztés, amint $n\rightarrow \infty$ :

H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots

ahol $B_{k}$ a Bernoulli-számok.

Generáló függvények szerkesztés

A harmonikus számok generáló függvénye:

\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},

ahol $\ln(z)$ a természetes logaritmus. Egy exponenciális generáló függvény: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}{\mbox{Ein}}(z)$

ahol ${\mbox{Ein}}(z)$ a teljes exponenciális integrál.

Megjegyezzük, hogy:

{\mbox{Ein}}(z)={\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z\,

ahol $\Gamma (0,z)$ az inkomplett gamma-függvény.

Alkalmazások szerkesztés

A harmonikus számok számos alkalmazásban megtalálhatók, mint például a digamma-függvénynél: $\psi (n)=H_{n-1}-\gamma .\,$ Ezt a kifejezést gyakran használják harmonikus számok kiterjesztésénél nem egész n-re. A harmonikus számokat gyakran használják a γ meghatározásához, felhasználva az előző fejezetben bevezetett korlátot:

\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{1 \over 2}\right)\right)}

mely gyorsabban konvergál.

2002-ben Jeffrey Lagarias bebizonyította, hogy a Riemann-hipotézis egyenlő a következő állítással:

\sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}},

igaz minden n ≥ 1 egész számra; szigorú egyenlőtlenséggel, ha n > 1. Itt σ(n) az n osztó összege.

Általánosítás szerkesztés

Az általánosított harmonikus szám:

H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.

n a végtelenbe tart, ha $m>1$ . Más kifejezésben:

H_{n,m}=H_{n}^{(m)}=H_{m}(n).

A speciális esetben, amikor $m=1$ , csak egyszerűen harmonikus számnak hívják, és gyakran index nélkül jelölik, mint itt:

H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.

Ha a korlát $n\rightarrow \infty$ , az általánosított harmonikus szám a Riemann-féle zéta-függvényhez konvergál:

\lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m).

Az általánosított harmonikus számok generáló függvénye:

\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {\mathrm {Li} _{m}(z)}{1-z}},

ahol $\mathrm {Li} _{m}(z)$ a polilogaritmus és |z| < 1. A fent megadott képletnél az m=1 egy speciális eset.

Irodalom szerkesztés

Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn: A Stirling Encounter with Harmonic Numbers. (hely nélkül): Mathematics Magazine, 75 (2). 2002.
Peter Paule and Carsten Schneider: Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities. (hely nélkül): Adv. in Appl. Math. 31 (2). 2003. 359–378. o.
Zoltán Retkes: An Extension of the Hermite–Hadamard Inequality. (hely nélkül): Acta Sci. Math. (Szeged). 2008. 95–106. o.