Hooke-törvény

A Hooke-törvény közelítő törvény, mely kimondja, hogy egy rugalmas test alakváltozása arányos azzal az erővel, mely az alakváltozást okozza.

Hooke törvénye pontosan leírja a közönséges csavarrugó mozgását kis összenyomódás esetén

Azokat az anyagokat, melyek a Hooke-törvényt követik, lineáris-rugalmas, vagy Hooke-anyagoknak nevezik.

A törvényt a 17. században élt fizikusról, Robert Hooke-ról nevezték el.

Azokban a rendszerekben, melyek a Hooke-törvényt követik, a megnyúlás egyenesen arányos a terheléssel:

${\overrightarrow {F}}=-k{\overrightarrow {x}}\$

ahol

x a megnyúlás [általában méter (m)],

F a rugóerő [általában newton (N)], és

k a rugó merevsége. A rugómerevség dimenziója erő/hossz, mértékegysége a newton/méter (N/m).

F_rugó= -D·Δx

Ha ez az egyenlőség fennáll, azt mondjuk, hogy a rugó lineáris rugó. Az összenyomódás-erő diagramban az ilyen rugó görbéje egyenes lesz.

Rugalmas anyagok

Sok anyag követi a Hooke-törvényt. Ha egy ilyen anyagból készült kis rudat vizsgálunk, azt kisméretű lineáris rugónak foghatjuk fel. Megnyúlása, (fajlagos nyúlása) egyenesen arányos a benne ébredő σ mechanikai feszültséggel, az arányossági tényező pedig az E rugalmassági modulus reciproka:

$\sigma =E\cdot \varepsilon$

vagy

$\Delta L={\frac {1}{E}}\times F\times {\frac {L}{A}}={\frac {1}{E}}\times L\times \sigma .$

A Hooke-törvény csak bizonyos anyagokra és bizonyos terhelési feltételek mellett érvényes. Az acél lineáris-rugalmas anyagként viselkedik a legtöbb mérnöki alkalmazás szempontjából: a Hooke-törvényt követi a rugalmassági tartományban (vagyis a folyáshatárnál kisebb feszültségeken). Néhány más anyagnál, például alumínium esetében a Hooke-törvény a rugalmas tartomány egy részében teljesül. Ezeknél az anyagoknál rugalmassági határt állapítanak meg, mely alatt a lineáris közelítéstől való eltérés elhanyagolható.

A gumit a Hooke-törvényt nem követő anyagok közé sorolják, mivel rugalmassági modulusa a terheléstől és a hőmérséklettől is függ, valamint állandó terhelés alatt is változik a megnyúlása (kúszás).

Húzott-nyomott rugó

Kis széntartalmú szénacél szakítódiagramja
1. Szakítószilárdság, R_m
2. Folyáshatár, R_e
3. Szakadás
4. Felkeményedés
5. Kontrakció (keresztmetszet összehúzódás)

A Hooke-törvény leggyakrabban előforduló alakja valószínűleg a rugóegyenlet, mely a rugóban ébredő erő és a rugó összenyomódása közti összefüggést fejezi ki:

$F=-kx\,$

ahol k a rugómerevség, dimenziója erő/hosszúság [N/m]

A negatív előjel arra utal, hogy a rugóban ébredő erő és az elmozdulás ellenkező irányúak. Ezt az erőt visszatérítő erőnek hívják, mivel igyekszik a rugót egyensúlyi helyzetébe visszatéríteni.

A rugóban felhalmozott potenciális energia:

$U={1 \over 2}kx^{2}$

A rugóban tárolt energia fenti egyenletét a rugó összenyomásakor végzett munkából lehet kiszámítani, ami az erőnek az elmozdulás szerinti integrálja. (A rugó potenciális energiája mindig pozitív.)

A potenciális energia az U-x síkon olyan parabolaként ábrázolható, melynek csúcspontja az origóban van, tengelye pedig az Y tengely. A rugó kihúzásakor a potenciális energia nő, de ugyanígy a rugó húzásakor is nő az energia. Bármilyen erővel hatunk a rugóra, a hozzá tartozó potenciális energia nagyobb, mint az x=0 ponthoz tartozó egyensúlyi állapoté, ezért a rugó törekszik visszatérni a legkisebb potenciális energiájú pontba, ugyanúgy, ahogy egy hullámos felületen a golyó a legmélyebb gödörbe törekszik.

Ha egy tömeget erősítünk a rugó végére és a rendszert kitérítjük egyensúlyi helyzetéből, lengésbe jön, és sajátlengései szögsebessége:

$\omega ={\sqrt {k \over m}}$ radián/másodperc (szögsebesség)

vagy

$\nu ={1 \over 2\pi }{\sqrt {k \over m}}$ hertz (1/s)

mivel

$\omega ={\nu 2\pi }$

A Hooke-törvény tenzoros alakja

Térbeli feszültségi állapot esetén egy (c_ijkl) negyedrendű, 81 elemet tartalmazó tenzort kell definiálnunk az (ε_kl) alakváltozási tenzor (vagy Green tenzor) és a (σ_ij) feszültségtenzor közötti összefüggés leírására.

$\sigma _{ij}=\sum _{kl}c_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl}$

Tekintettel a feszültségtenzor, az alakváltozási tenzor és a merevségi tenzor szimmetriájára, csak 21 együttható független.

Mivel a feszültség nyomás dimenziójú, az alakváltozás pedig dimenzió nélküli elemekből áll, a c_ijkl elemek szintén nyomás dimenziójúak.

Izotróp anyagok

Izotróp anyagoknak nevezik azokat az anyagokat, melyek tulajdonságai függetlenek a térbeli irányoktól. Ennélfogva az izotróp anyagokra vonatkozó fizikai egyenleteknek függetleneknek kell lenniük a választott koordináta-rendszertől. Az alakváltozási tenzor szimmetrikus tenzor. Mivel a tenzor nyoma független a koordináta-rendszertől, ezért a szimmetrikus tenzor koordináta-független teljes dekompozíciója egy állandó tenzor és egy nyom nélküli szimmetrikus tenzor összege. Így:

$\varepsilon _{ij}=\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)$

ahol $\delta _{ij}$ a Kronecker-delta-függvény. Az első kifejezés a jobb oldalon az állandó tenzor, melyet nyomásnak neveznek, a másik kifejezés pedig a nyom nélküli szimmetrikus tenzor, más néven a nyírási tenzor.

A Hooke-törvény legáltalánosabb alakja izotróp anyagokra ezért e két tenzor lineáris kombinációjaként írható:

$\sigma _{ij}=3K\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,$

ahol K az rugalmassági modulus és G a nyírási rugalmassági modulus.

Felhasználva a rugalmassági modulusok közötti összefüggéseket, az egyenletek számos különböző módon írhatók fel. Például az alakváltozás kifejezhető a feszültségtenzor elemeinek segítségével:

$\varepsilon _{11}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right)$

$\varepsilon _{22}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right)$

$\varepsilon _{33}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right)$

$\varepsilon _{12}={\frac {\sigma _{12}}{2G}}$

$\varepsilon _{13}={\frac {\sigma _{13}}{2G}}$

$\varepsilon _{23}={\frac {\sigma _{23}}{2G}}$

ahol E a rugalmassági modulus (vagy Young-modulus) és a $\nu$ a Poisson-tényező.

Átszámítási képletek (nyitható táblázat)
Homogén izotróp tulajdonságú anyagok tulajdonságai kiszámíthatóak, ha legalább két másik tulajdonságuk ismert
	$(\lambda ,\,G)$	$(E,\,G)$	$(K,\,\lambda )$	$(K,\,G)$	$(\lambda ,\,\nu )$	$(G,\,\nu )$	$(E,\,\nu )$	$(K,\,\nu )$	$(K,\,E)$	$(M,\,G)$
$K=\,$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$			${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$			$M-{\tfrac {4G}{3}}$
$E=\,$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$	${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$	$2G(1+\nu )\,$		$3K(1-2\nu )\,$		${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$
$\lambda =\,$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$	${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	$M-2G\,$
$G=\,$			${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$
$\nu =\,$	${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$					${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$M=\,$	$\lambda +2G\,$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$	$3K-2\lambda \,$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$	${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$

Zéró hosszúságú rugók

A zéró hosszúságú rugó az állandó erejű rugó helytelen megnevezése. A Hooke-törvény bizonyos speciális fizikai feltételek esetén nem alkalmazható. A zéró hosszúságú rugót 1932-ben Lucien LaCoste találta fel. A zéró hosszúságú rugó fizikai hossza megegyezik kinyújtott hosszával, rugóereje arányos teljes hosszúságával, nem csak a kinyújtás hosszával, emiatt rugóereje a rugó teljes elasztikus tartományán belül állandó (vagyis nem követi a Hooke-törvényt).

Elméletileg egy végtelen tömegű inga, melynek visszatérítő erejét ilyen rugó (illetőleg csaknem bármilyen rugó) biztosítja, végtelen természetes periódusidejű lehet. A szeizmométerekbe épített hosszú periódusidejű ingák képesek távoli földrengések leglassabban haladó, legáthatolóbb hullámainak észlelésére. Zéró hosszúságú rugót alkalmaznak a nehézségi gyorsulás anomáliáinak mérésére szolgáló graviméterekben is. Egyes ajtókat szintén zéró hosszúságú rugó működtet a becsapódás elkerülése érdekében. A zéró hosszúságú rugók egyes autófelfüggesztések esetében simább működést eredményeznek.

Kapcsolódó szócikkek

• Rugó

Külső hivatkozások

• Zéró hosszúságú rugók szeizmométerekben
• Magyarított Flash animáció a Hook-törvényről Szerző: David M. Harrison