A lineáris kombináció a lineáris algebra egyik legfontosabb fogalma. Segítségével definiálható a vektorok lineáris függetlensége, a vektorrendszerek, mátrixok rangja.

Egy lineáris kombináció. Szemléltetés paralelogrammaszabállyal
a és vektorok lineáris kombinációja. A zöld sík a két vektor lineáris burkát ábrázolja

Definíció szerkesztés

Legyen v1, v2, …, vnV és λ1, λ2, …, λnT, ahol T test, V pedig egy T feletti k dimenziós vektortér. V elemei vektorok, T elemei skalárok.
Ekkor a  V vektort a vi vektorok (λi skalárokkal képzett) lineáris kombinációjának nevezzük.

Tetszőleges számú vektor lineáris kombinációja szerkesztés

Legyen K test, és legyen V vektortér K fölött. Legyen továbbá   vektorok akár végtelen halmaza. Ekkor a   vektorok lineáris kombinációi azok a   összegek, amikben véges kivétellel minden λ nulla. Tehát még akkor sem tekintünk végtelen sok elemet, ha a sor konvergens lenne.

Alkalmazások szerkesztés

Az egyik alkalmazásban adva vannak a vektorok a hozzájuk tartozó vektorokkal, és ki akarjuk számítani a lineáris kombinációt.

Példa: Adva legyenek a   vektorok  -ben, és az   együtthatók. Ekkor a lineáris kombináció  .

Egy másik alkalmazásban egy adott vektorról kell eldönteni, hogy előáll-e a megadott vektorok lineáris kombinációjaként. Az előállításhoz meg kell adni az együtthatókat, vagy bizonyítani, hogy nincsenek ilyen együtthatók. Ez egy lineáris egyenletrendszer megoldásával tehető meg.

Példa: Az   vektortérben keressük, hogy előáll-e a   vektor a   és   vektorok lineáris kombinációjaként. Elvégezzük a   helyettesítést, és megoldjuk az így előálló lineáris egyenletrendszert például Gauss-eliminációval. Megoldásként   és   adódik. Így   előáll   és   lineáris kombinációjaként, mint  .

Kapcsolódó fogalmak szerkesztés

Mivel az elemeket bizonyos skalárokkal össze kell szorozni, majd a szorzatokat összeadni, ezért a lineáris kombináció vektortéren értelmezhető.

Tekintünk néhány vektort; ekkor az összes lineáris kombinációjuk ismét vektorteret ad, az adott vektorok által generált vektorteret, más néven lineáris burkukat. Ha kombinációik az egész vektorteret kiadják, akkor azok a vektorok a vektortér egy generátorrendszerét alkotják.

A nullvektor triviálisan kifejezhető lineáris kombinációként. Ez azt jelenti, hogy minden együttható nulla. Ha a nullvektor másként is előáll, akkor a lineáris kombinációban levő vektorok lineárisan összefüggők. Ha csak a triviális lineáris kombináció állítja elő a nullvektort, akkor a vektorrendszer lineárisan független.

Ha egy vektorrendszer független generátorrendszere a V vektortérnek, akkor bázisa a V vektortérnek. Egy vektortér összes bázisa ugyanannyi elemet tartalmaz; ez az elemszám a vektortér dimenziója.

Modulusok szerkesztés

A testek helyett gyűrűk fölött levő modulusokban a lineáris kombináció is általánosabb jelentést kap.

Az egész számok gyűrűjében, mint önmaga fölötti modulusban is lehet lineáris kombinációt venni. Ekkor két egész szám lineáris kombinációjaként éppen a legnagyobb közös osztójuk többszörösei adódnak. Maga a legnagyobb közös osztó az euklideszi algoritmus alapján írható fel lineáris kombinációként, ahol az együtthatók negatívak is lehetnek:

 

Az egyértelműség nem teljesül, mivel a két szám legkisebb közös többszörösének felhasználásával egy egész sorozat előállítható.

Példák:

  • a 3 és az 5:
1 = 2 · 5 - 3 · 3
  • a 10 és a 20:
10 = 1 · 10 + 0 · 20
  • a 9 és a 15:
3 = 2 · 9 - 1 · 15
  • a 9 és a 16:
1 = 4 · 16 - 7 · 9

Általában a lineáris algebrából ismert, egyszerű műveletek végrehajthatók modulusokban is, azonban nem mindig lehet megoldani egy lineáris egyenletrendszert a nem invertálható gyűrűelemek miatt.

Speciális esetek szerkesztés

  • Ha λi-k egyike sem negatív, akkor kúp kombinációról van szó.
  • Ha mindegyikük pozitív, akkor pozitív kombinációról beszélünk.
  • Ha az együtthatók összege 1, akkor az affin kombináció. Ez a fogalom modulusokra is kiterjeszthető.
  • Ha a kombináció egyszerre kúp és affin kombináció, akkor konvex kombináció. Konvex kombinációk konvex kombinációja

is konvex kombináció. Egy adott halmaz összes konvex kombinációjának halmaza a halmaz konvex burka.

Források szerkesztés

Fordítás szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Linearkombination című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.