Püthagoraszi komma

Püthagoraszi kommának nevezzük a zeneelméletben azt az eltérést, ami 12 egymásra épített tiszta kvint és 7 egymásra épített tiszta oktáv között található. A püthagoraszi komma létezése a hangolás alapproblémája: a különféle hangolási rendszerek ezen eltérést kívánják különböző módokon felszámolni, ez azonban – a számok tulajdonságai következtében – csak kompromisszumokkal lehetséges.

Értéke

Az érték meghatározásakor számolhatunk frekvenciaviszonyokban illetve centekben.

a) Frekvenciaviszonyokban számolva

A tiszta kvint viszonyszáma 3/2, tiszta oktávé pedig 2/1. A 12 egymásra épített tiszta kvint és 7 egymásra épített tiszta oktáv frekvenciaviszonya tehát – a frekvencia exponenciális jellege következtében – így számítható:

$Q_{pK}={\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{12}}{\left({\frac {2}{1}}\right)^{7}}}={\frac {1{,}5^{12}}{2^{7}}}\approx {\frac {129{,}746}{128}}\approx {\underline {1{,}0136432}}$

Látható, hogy a két szám nem egyezik meg, a 12 tiszta kvint valamivel több, mint a 7 tiszta oktáv.

b) Centekben számolva

A tiszta oktáv centértéke definíciószerűen 1200, a tiszta kvinté pedig:

$C_{kvint}=1200\cdot \log _{2}{\left({\frac {3}{2}}\right)}=1200\cdot {\frac {\log _{10}{\left({\frac {3}{2}}\right)}}{\log _{10}2}}\approx 701{,}955$

A különbség:

$C_{pK}=12\cdot 701{,}955-7\cdot 1200=8423{,}46-8400={\underline {23{,}46}}$

Átszámítva frekvenciaviszonyra (ellenőrzésül):

$Q_{pK}=2^{\frac {23{,}46}{1200}}\approx 1{,}0136432$

A püthagoraszi komma értéke tehát 1,0136432 illetve 23,46 C, ami körülbelül a félhang egynegyede.

Kiküszöbölése

A különféle rendszerek különböző módokon igyekeznek megszüntetni a püthagoraszi kommát, azonban ez csak kompromisszumokkal lehetséges, mivel több szempontot kellene egyszerre érvényesíteni. Egyrészt kívánatos volna megtartani a hangnemek tisztaságát, amennyire csak lehetséges (így például figyelembe kell venni a szintonikus komma létezését is, ami a tiszta kvintekből felépített nagyterc és a tiszta nagyterc közötti viszonyt írja le), másfelől pedig törekedni kell arra, hogy minél több hangnemben lehessen nagyjából változatlanul játszani. Attól függően, honnan közelítjük meg a problémát, kapjuk a különböző hangolási rendszereket.

Az alaphangnem tisztasága

Ha megelégszünk azzal, hogy csak egy hangnemben játsszunk, akkor alkalmazhatjuk a tiszta hangolást, ami az alaphangnem tekintetében teljesen tiszta hangközökkel dolgozik. Ez ugyanakkor nem azt jelenti, hogy például minden kvint tiszta, hanem az alaphangnem intervallumai mindenképpen tiszták, a többi szólhat hamisan.

Ebben az esetben a püthagoraszi komma úgy tűnik el, hogy nem kvintekből építjük fel a rendszerünket; ugyanakkor abban az esetben, ha kiterjesztjük további oktávokra ezen hangolást, olyan hangsort kapunk, mely megfelel 9 tiszta, 2 a szintonikus kommával csökkentett és 1 a diaschismával megnövelt kvintből felépülő láncnak.

A püthagoraszi komma kiegyenlítése tehát a tiszta hangolásban így történik:

Püthagoraszi komma – 2 · Szintonikus komma + Diaschisma = 23,46 – 2 · 21,506 + 19,552 = 0

Tiszta kvintek

Ha a kvintek tisztaságát tartjuk a legfontosabbnak, a terceké és más hangközöké nem érdekes annyira, akkor a püthagoraszi hangoláshoz jutunk. Ugyanakkor itt is szükség van az egyik kvint beszűkítésére ahhoz, hogy a kvintkör bezáruljon. Attól függően, melyik kvintet szűkítjük, kapjuk meg a püthagoraszi hangolás különféle változatait; ezek közül leggyakoribb a Gisz-Disz kvintet a komma értékével lecsökkentő.

Ebben az esetben tehát egyetlen kvint küszöböli ki a püthagoraszi kommát, a többi tiszta marad, tehát:

Püthagoraszi komma – Püthagoraszi komma = 0

Tiszta nagytercek

Ha a nagytercek tisztasága fontos, a kvinteké elhanyagolható, akkor a középhangú temperálás valamelyik változata használandó. Ezek közül legelterjedtebb a negyedkommás középhangú temperálás, amelynél 11 kvintet a szintonikus komma negyedével (innen a név) beszűkítenek, így a nagytercek – 4 kivételével – tiszták lesznek, a 12. kvint (farkaskvint) pedig kiküszöböli a szűkítések miatti eltérést.

A kiegyenlítés képlete tehát:

Püthagoraszi komma – 11 · Szintonikus komma / 4 + Farkaskvint szűkítése = 23,46 – 11 · 21,506 / 4 + 35,6815 = 23,46 – 11 · 5,3765 + 35,6815 = 0

Játszhatóság minden hangnemben

A fenti rendszerek egyike sem teszi lehetővé azt, hogy minden hangnemben elfogadhatóan játszhassunk. Ehhez a jóltemperált hangolások valamelyikére van szükség, amelyekben a püthagoraszi komma több részre lesz elosztva, így lehetővé téve a hangnemek használatát. Ezek közül legelterjedtebb a maga idejében a Werckmeister III. típusú hangolás volt, amelynél 5 kvintet beszűkítenek a komma negyedével, egyet pedig kibővítenek, így elérve azt, hogy záródjon a kvintkör.

A képlet ebben az esetben:

Püthagoraszi komma – 5 · Püthagoraszi komma / 4 + Püthagoraszi komma / 4 = 23,46 – 5 · 5,865 + 5,865 = 0

Teljesen egyforma hangnemek

A ma használatos kiegyenlített hangolásban minden hangnem teljességgel egyforma, az oktávon kívül pedig egyetlen tiszta hangköz sincs. Itt a püthagoraszi kommát a 12 egyformán beszűkített – nem tiszta – kvint egyenlíti ki, a képlet tehát:

Püthagoraszi komma – 12 · Püthagoraszi komma / 12 = 23,46 – 12 · 1,955 = 0