Sylvester-sorozat

A számelmélet területén a Sylvester-sorozat vagy Sylvester-féle sorozat olyan egész számokat tartalmazó sorozat, melynek minden tagja az előző tagok összeszorzásával és 1 hozzáadásával képezhető. A sorozat első néhány tagja:

Az 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + ... összeg 1-hez való konvergenciájának ábrázolása. Minden sorban k db négyzet van, 1/k oldalhosszúsággal, melyek területösszege 1/k, az összes négyzet pedig pontosan lefed egy nagyobb, 1 területű négyzetet. Az 1/1807 vagy kisebb oldalhosszúságú négyzetek nem szerepelnek az ábrán

2, 3, 7, 43, 1807, 3 263 443, 10 650 056 950 807, 113423713055421844361000443 (A000058 sorozat az OEIS-ben).

A Sylvester-sorozatot James Joseph Sylvester brit matematikusról nevezték el, aki 1880-ban elsőként tanulmányozta. A sorozat tagjai dupla exponenciális sebességgel nőnek, reciprokainak egységtört-sorösszege pedig gyorsabban tart 1-hez, mint bármely más egységtört-sorozat. A rekurzív definíció lehetővé teszi, hogy a sorozat tagjait a hasonló nagyságrendű számoknál gyorsabban lehessen prímtényezőkre bontani, de a sorozat gyors növekedése miatt így is csak az első néhány tagnak ismert a pontos felbontása. A sorozat felhasználási módjai között van az 1 véges egyiptomi tört-felbontásainak konstruálása, a Szaszaki–Einstein-sokaságok (, ) tagjai és az online algoritmusok keményebb darabjai.

Formális definíciók

A Sylvester-sorozat formális meghatározása:

$s_{n}=1+\prod _{i=0}^{n-1}s_{i}.$

Az üres szorzat értéke megegyezés szerint 1, ezért s₀ = 2.

Egy másik rekurzív definíció szerint:

$\displaystyle s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1,$ ahol s₀ = 2.

Könnyen megmutatható a két definíció egyenértékűsége.

Zárt alak, aszimptotikus viselkedés

A Sylvester-számok n függvényében dupla exponenciálisan nőnek. Megmutatható, hogy

$s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,$

az E számra, ami körülbelül 1,264084735305302. A képlet hatásában a következő algoritmussal egyezik meg:

s₀ az E²-höz legközelebb álló egész szám; s₁ az E⁴-hez legközelebb álló egész szám; s₂ az E⁸-hoz legközelebb álló egész szám; bármely s_n-re, vedd E²-t, emeld négyzetre n-szer és vedd a hozzá legközelebbi egész számot.

Ez akkor lehetne praktikus algoritmus, ha lenne más módja E meghatározásának, mint az s_n kiszámolása és egymás utáni négyzetgyökvonások.

A Sylvester-sorozat dupla exponenciális növekedése nem meglepő, összehasonlítva őket az F_n Fermat-számok sorozatával; a Fermat-számokat általában egy dupla exponenciális képlettel adják meg – $2^{2^{n}}+1$ –, de valójában a Sylvester-sorozathoz hasonló módon is megadhatók lennének:

$F_{n}=2+\prod _{i=0}^{n-1}F_{i}.$

Egyiptomi törtekkel való kapcsolatai

A Sylvester-sorozat reciprokai által megadott egységtörtek végtelen sora a következő:

$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{s_{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{1807}}+\cdots .$

A sor részösszegeinek egyszerű alakja:

$\sum _{i=0}^{j-1}{\frac {1}{s_{i}}}=1-{\frac {1}{s_{j}-1}}={\frac {s_{j}-2}{s_{j}-1}}.$

Ez igazolható indukcióval, vagy közvetlen módon, belátva hogy a rekurzióból következik:

${\frac {1}{s_{i}-1}}-{\frac {1}{s_{i+1}-1}}={\frac {1}{s_{i}}},$

tehát az összegzést teleszkóposan elvégezve:

$\sum _{i=0}^{j-1}{\frac {1}{s_{i}}}=\sum _{i=0}^{j-1}\left({\frac {1}{s_{i}-1}}-{\frac {1}{s_{i+1}-1}}\right)={\frac {1}{s_{0}-1}}-{\frac {1}{s_{j}-1}}=1-{\frac {1}{s_{j}-1}}.$

Mivel a részösszegek ezen (s_j-2)/(s_j-1) sorozata egyhez konvergál, a teljes sor az 1 szám végtelen egyiptomi tört-reprezentációját adja:

$1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{1807}}+\cdots .$

Az 1 bármilyen hosszú egyiptomitört-megfeleltetése megkapható a sorozat „levágásával”, majd az utolsó nevezőből 1 levonásával:

$1={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{6}},\quad 1={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{42}},\quad 1={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{43}}+{\tfrac {1}{1806}},\quad \dots .$

A végtelen sorozat első k tagjának összege adja a legközelebbi lehetséges alsó becslését 1-nek az összes k-tagú egyiptomi törtes sorozat között. Például az első négy tag összege 1805/1806, ezért bármely, az (1805/1806,1) nyílt intervallumban lévő egyiptomitört-megfeleltetés legalább 5 elemet igényel.

A Sylvester-sorozat úgy is felfogható, mint egy egyiptomi törteket előállító mohó algoritmus, ami minden lépésben kiválasztja a lehető legkisebb nevezőt, amitől a sor részösszege még egy alatt marad. Más megközelítésben a sorozat első tagjától tekinthető az ½ páratlan mohó felbontásának.

Egyediség és racionális összegű gyorsan növő sorok

Amint azt Sylvester maga is megjegyezte, a Sylvester-sorozat egyedinek tűnik abban a tekintetben, hogy ilyen gyorsan növekvő értékek mellett a reciprokok összege racionális számhoz konvergál. A sorozat példát nyújt arra, hogy önmagában a dupla exponenciális növekedés nem elégséges feltétele az irracionalitás-sorozatságnak.

Precízebben, (Badea 1993)-ból következik, hogy ha egy $a_{n}$ sorozat elég gyorsan nő ahhoz, hogy

$a_{n}\geq a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1,$

és az

$A=\sum {\frac {1}{a_{i}}}$

sorozat egy A racionális számhoz konvergál, akkor egy adott számot elérve minden n számra a sorozatot ugyanaz az

$a_{n}=a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1$

rekurrencia-szabály kell, hogy meghatározza, mint a Sylvester-sorozatot.

(Erdős & Graham 1980) sejtése szerint az ilyen típusú eredményekben a sorozat növekedését korlátozó egyenlőtlenség lecserélhető a következő gyengébb feltételre:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n-1}^{2}}}=1.$

(Badea 1995) vizsgálta a sejtés megoldásának előrehaladását; lásd még (Brown 1979).

Oszthatóság és prímfelbontások

Ha i < j, a definícióból következik, hogy s_j ≡ 1 (mod s_i). Ezért a Sylvester-sorozat bármely két tagja relatív prím. A sorozat annak bizonyítására is alkalmas, hogy végtelen sok prímszám létezik, hiszen bármely prímszám a sorozat legfeljebb egy tagjának lehet osztója. Ezen túl, a sorozat tagjainak egyetlen prímtényezője sem lehet kongruens 5 (mod 6), és a sorozat segítségével bebizonyítható, hogy végtelen sok olyan prím létezik, ami kongruens 7 (mod 12).

A Sylvester-számok faktorizációjával kapcsolatban számos kérdés áll még nyitva. Nem ismert például, hogy minden tag négyzetmentes-e, bár az összes ismert tag az.

Ahogy (Vardi 1991) írja, könnyen meghatározható, hogy adott p melyik Sylvester-számnak osztója (ha osztója bármelyiknek): egyszerűen modulo p kell számítani a Sylvester-sorozat rekurrenciáját, amíg olyan számhoz nem érünk, ami kongruens 0-vel (mod p), vagy ismétlődő modulushoz. Ezzel a technikával az első 3 millió prímszám közül 1166 vagy 1167 prímosztóját találta meg a Sylvester-számoknak, melyek közül egyiknek a négyzete sem volt osztója Sylvester-számnak. A Sylvester-számokat osztó prímszámok sűrűsége nulla az összes prímszám között: valóban, az x-nél kisebb ilyen prímek száma $O(\pi (x)/\log \log \log x)$.

A következő táblázat a Sylvester-számok prímtényezős felbontását mutatja be (kivétel az első 4 tag, amik prímek):

n	sn prímtényezői
4	13 × 139
5	3263443, ami prím
6	547 × 607 × 1033 × 31051
7	29881 × 67003 × 9119521 × 6212157481
8	5295435634831 × 31401519357481261 × 77366930214021991992277
9	181 × 1987 × 112374829138729 × 114152531605972711 × 35874380272246624152764569191134894955972560447869169859142453622851
10	2287 × 2271427 × 21430986826194127130578627950810640891005487 × P156
11	73 × C416
12	2589377038614498251653 × 2872413602289671035947763837 × C785
13	52387 × 5020387 × 5783021473 × 401472621488821859737 × 287001545675964617409598279 × C1600
14	13999 × 74203 × 9638659 × 57218683 × 10861631274478494529 × C3293
15	17881 × 97822786011310111 × 54062008753544850522999875710411 × C6618
16	128551 × C13335
17	635263 × 1286773 × 21269959 × C26661
18	50201023123 × 139263586549 × 60466397701555612333765567 × C53313
19	775608719589345260583891023073879169 × C106685
20	352867 × 6210298470888313 × C213419
21	387347773 × 1620516511 × C426863
22	91798039513 × C853750

A konvencióknak megfelelően Pn és Cn n számjegy hosszúságú prímszámokat és összetett számokat jelöl.

Alkalmazásai

(Boyer, Galicki & Kollár 2005) a Sylvester-sorozat tulajdonságait használják fel arra, hogy nagy számú olyan Szaszaki-féle Einstein-sokaságot definiáljanak, melyek differenciális topológiája megegyezik a páratlan dimenziójú gömbökével vagy egzotikus gömbökével. Megmutatják, hogy a 2n − 1 dimenziós topologikus gömb különböző Szaszaki-féle Einstein-metrikája legalább arányos az s_n-nel, így n-re nézve dupla exponenciálisan nő.

Ahogy (Galambos & Woeginger 1995) is lejegyezte, (Brown 1979) és (Liang 1980) a Sylvester-sorozatból vett értékekkel konstruált alsó korlátos példákat az online ládapakolási algoritmusokhoz. (Seiden & Woeginger 2005) hasonlóan használta fel a sorozatot egy kétdimenziós szabási feladat-algoritmus teljesítményének alsó korlátjának beállítására.

A Znám-probléma olyan számhalmazokkal foglalkozik, melyek közül bármelyik szám osztója az összes többi szám szorzata plusz 1-nek, de egyik szám sem azonos vele (tehát valódi osztója). Az utóbbi követelmény hiányában a Sylvester-sorozat értékei megoldásait adnák a problémának; a követelménnyel együtt más megoldásai vannak, melyek a Sylvester-sorozatéhoz hasonló rekurziókból származnak. A Znám-probléma megoldásainak a felületi szingularitások osztályozásában (Brenton and Hill 1988) és a nemdeterminisztikus véges állapotú automaták elméletében vannak alkalmazásai.

D. R. Curtiss (1922) leírja a k taggal való, egyhez legközelebbi közelítések egy alkalmazását a tökéletes számok osztószámának alsó korlátjának meghatározásában; (Miller 1919) ugyanezt a tulajdonságot használja bizonyos csoportok méretére vonatkozó alsó korlát meghatározására.

Kapcsolódó szócikkek

• Cahen-állandó
• Elsődleges áltökéletes számok
• Eukleidész–Mullin-sorozat

Irodalom

• Badea, Catalin (1993). „A theorem on irrationality of infinite series and applications”. Acta Arithmetica 63, 313–323. o.  
• Badea, Catalin: On some criteria for irrationality for series of positive rationals: a survey, 1995. [2008. szeptember 11-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. április 21.)
• (2005) „Einstein metrics on spheres”. Annals of Mathematics 162 (1), 557–580. o. DOI:10.4007/annals.2005.162.557.  
• (1988) „On the Diophantine equation 1=Σ1/n_i + 1/Πn_i and a class of homologically trivial complex surface singularities”. Pacific Journal of Mathematics 133 (1), 41–67. o. DOI:10.2140/pjm.1988.133.41.  
• Brown, D. J. (1979). „A lower bound for on-line one-dimensional bin packing algorithms”, Kiadó: Coordinated Science Lab., Univ. of Illinois, Urbana-Champaign.  
• Curtiss, D. R. (1922). „On Kellogg's diophantine problem”. American Mathematical Monthly 29 (10), 380–387. o. DOI:10.2307/2299023.  
• (2005) „Non-uniqueness and radius of cyclic unary NFAs”. International Journal of Foundations of Computer Science 16 (5), 883–896. o. DOI:10.1142/S0129054105003352.  
• Old and new problems and results in combinatorial number theory. Monographies de L'Enseignement Mathématique, No. 28, Univ. de Genève (1980) 
• (1995) „On-line bin packing — A restricted survey”. Mathematical Methods of Operations Research 42 (1), 25. o. DOI:10.1007/BF01415672.  
• (1963) „On certain nonlinear recurring sequences”. American Mathematical Monthly 70 (4), 403–405. o. DOI:10.2307/2311857.  
• Concrete Mathematics, 2nd, Addison-Wesley (1989). ISBN 0-201-55802-5 
• Guy, Richard K.. Unsolved Problems in Number Theory, 3rd, Springer-Verlag, 346. o. (2004). ISBN 0-387-20860-7 
• (1975) „Discovering primes with Euclid”. Delta (Waukesha) 5 (2), 49–63. o.  
• Jones, Rafe (2006). "The density of prime divisors in the arithmetic dynamics of quadratic polynomials" arXiv:math.NT/0612415
• Liang, Frank M. (1980). „A lower bound for on-line bin packing”. Information Processing Letters 10 (2), 76–79. o. DOI:10.1016/S0020-0190(80)90077-0.  
• Miller, G. A. (1919). „Groups possessing a small number of sets of conjugate operators”. Transactions of the American Mathematical Society 20 (3), 260–270. o. DOI:10.2307/1988867.  
• Odoni, R. W. K. (1985). „On the prime divisors of the sequence w_n+1 =1+w₁⋯w_n”. J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 32, 1-11. o.  
• Rosenman, Martin (1933). „Problem 3536”. American Mathematical Monthly 40 (3), 180–181. o. DOI:10.2307/2301036.  
• Salzer, H. E. (1947). „The approximation of numbers as sums of reciprocals”. American Mathematical Monthly 54 (3), 135–142. o. DOI:10.2307/2305906.  
• (2005) „The two-dimensional cutting stock problem revisited”. Mathematical Programming 102 (3), 519–530. o. DOI:10.1007/s10107-004-0548-1.  
• Soundararajan, K. (2005). „Approximating 1 from below using n Egyptian fractions”.  
• Sylvester, J. J. (1880). „On a point in the theory of vulgar fractions”. American Journal of Mathematics 3 (4), 332–335. o. DOI:10.2307/2369261.  
• Vardi, Ilan. Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley, 82–89. o. (1991). ISBN 0-201-52989-0 

További információk

• Irrationality of Quadratic Sums, from K. S. Brown's MathPages.
• Weisstein, Eric W.: Sylvester's Sequence (angol nyelven). Wolfram MathWorld