Szögfelezőtétel

A szögfelező- vagy Apollóniusz-tétel az Euklideszi geometria egyik tétele, amely szerint egy háromszög szögfelezőinek talpponja a szomszédos oldalak arányában osztja a szemközti oldalt:

A D_i, D_e pontok helye csak az AC/BC aránytól függ

${\frac {AD_{i}}{BD_{i}}}={\frac {AD_{e}}{BD_{e}}}={\frac {AC}{BC}}$

ahol:

A, B és C a háromszög csúcsai,

D_i és D_e a C-ből induló belső és külső szögfelező talppontja

Bizonyítása

Párhuzamos szelőkkel

BCB’ ₂ egyenlő szárú háromszög, amelynek az alapja és a magassága párhuzamos a szögfelezőkkel

Belső szögfelezőre:

Az egyik alapon levő, például a B csúcsból párhuzamost húzok a belső szögfelezővel, ez metszi az AC egyenest egy B’₂ pontban. A külső szögfelezőre való tükrözés után B képe BB’₂ egyenesen marad, mert a belső szögfelező merőleges a külsőre, és B képe a CB képén, CB’₂ egyenesen is rajta lesz, tehát B képe B’₂, tehát BC = CB’₂. A párhuzamos szelők tétele miatt ${\frac {AD_{i}}{BD_{i}}}={\frac {AC}{BC}}$.

A külső szögfelezőre hasonlóan megy.

Szinusztétel használatával

A szinusztételbe beírva azonnal adódik a kívánt összefüggés:

${\frac {AD_{i}}{AC}}={\frac {\sin ACD_{i}\angle }{\sin AD_{i}C\angle }}={\frac {\sin BCD_{i}\angle }{\sin BD_{i}C\angle }}={\frac {BD_{i}}{BC}}$

Külső szögfelezőre ugyanígy.

Megfordítása

Egy lehetséges megfordítás: ha adott A, B, C és D_i hogy ${\frac {AD_{i}}{BD_{i}}}={\frac {AC}{BC}}$, akkor igaz-e, hogy ACD_i< szög egyenlő BCD_i< szöggel.

Duálisa

A távolság és szög (szinusza) fogalmakat felcserélve jutunk a szögfelezőtétel duálisához. Az oldalfelezőtétel szerint egy háromszögben egy szöget a szemközti oldalfelezőponttal összekötő egyenes szinuszosan olyan arányban oszt, mint a szemben levő oldalon a megfelelő szögek szinuszai. Ez nem túl nevezetes összefüggés, de igazolható a szinusztétel segítségével.

Apollóniusz-kör

A szögfelezőtétel következménye, hogy az olyan pontokból, amelyeknek két adott ponttól, A-tól és B-től vett távolságaik aránya egy adott állandó, merőlegesen fog látszódni a külső és belső szögfelező talppontja, tehát rajta lesz azok Thalész-körén.