Szakaszfelező merőleges

Egy $a$ szakasz szakaszfelező merőlegese egy adott síkban egy olyan $b$ egyenes, amelynek minden pontja az $a$ szakasz $A$ és $B$ végpontjaitól egyenlő távolságra van. $b$ merőleges $a$-ra, és áthalad annak felezőpontján. Térbeli megfelelője a szakaszfelező sík.

Szakaszfelező merőleges szerkesztése

Egyenlő szárú háromszögben az alap felezőmerőlegese a szárak által bezárt szög felezője

Más megfogalmazásban: két pontot összekötő szakasz szakaszfelező merőlegese a két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza (mértani helye) a síkban.

Ekvivalensen, a mindkét ponton átmenő körök középpontjai alkotják a szakaszfelező merőlegest. A szerkesztés ezt a tulajdonságot használja fel, mivel a két pontból ugyanazzal a sugárral húz kört, és összeköti a keletkezett metszéspontokat. Ahhoz, hogy a metszéspontok létezzenek, kell, hogy a sugarak szigorúan nagyobbak legyenek, mint a szakasz fele.

Adva legyen a szakasz két végpontjával a derékszögű Descartes-koordináta-rendszerben. Jelölje ezeket $A(x_{A}|y_{A})$ és $B(x_{B}|y_{B})$! Ha $y_{A}\neq y_{B}$, akkor a szakaszfelező merőleges egyenlete:

$y=-{\frac {x_{A}-x_{B}}{y_{A}-y_{B}}}x+{\frac {x_{A}^{2}-x_{B}^{2}+y_{A}^{2}-y_{B}^{2}}{2\cdot (y_{A}-y_{B})}}$

Ha $y_{A}=y_{B}$, akkor az egyenlet: $x={\frac {1}{2}}(x_{A}+x_{B})$

A háromszög oldalfelező merőlegesei

A háromszög oldalfelező merőlegesei az oldalak felezőpontjaiba állított merőleges egyenesek. Az oldalfelező merőlegesek pontjai egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától.

Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást.

Bizonyítás: Legyen az $ABC$ háromszög $AB$ oldalának felezőmerőlegese $e$, ennek minden pontja egyenlő távolságra van $A$-tól és $B$-től is. A $BC$ oldal felezőmerőlegese pedig legyen $f$, aminek minden pontja egyenlő távolságra van $B$-től és $C$-től. $AB$ és $BC$ oldal metszik egymást, így a felezőmerőlegeseik is, legyen a metszéspont $M$, ekkor $M$ azonos távolságra van $A$-tól, $B$-től és $C$-től, vagyis $M$ rajta van $AC$ oldal felezőmerőlegesén is.

Ez a pont éppen a háromszög köréírt körének középpontja, mivel minden csúcstól egyenlő távolságra van. Hegyesszögű háromszög esetén ez a háromszög belsejében van. Derékszögű háromszögben az átfogó középpontja, és egybeesik az átfogó Thalész-körével. Tompaszögű háromszög esetén a háromszögön kívül található.

Egyenlő szárú háromszögben az alap felezőmerőlegese felezi a szárak által bezárt szöget.

A koordinátageometriában

Az $A$ és $B$ pontok által meghatározott szakasz felezőmerőlegesét a koordinátageometriában így számíthatjuk síkban és térben:

Vezessük be az ${\vec {n}}={\vec {AB}}$ jelölést, illetve legyen $M$ támaszpont, melynek helyvektora ${\vec {m}}$. Ekkor

${\vec {n}}\cdot \left({\vec {x}}-{\vec {m}}\right)=0$

a szakaszfelező merőleges egyenlete.

Források

• Rolf Baumann. Geometrie mit Übungen und Lösungen. München: Mentor (2002) 
• Cornelia Niederdrenk-Felgner. Lambacher-Schweizer Lehrbuch der Mathematik für die 7. Klasse (G9) an Gymnasien (Baden Württemberg). Stuttgart: Klett (1994) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Mittelsenkrechte című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.