Tizenötszög

A geometriában a tizenötszög egy tizenötoldalú sokszög.

Tizenötszög
Általános tizenötszög
Élek, csúcsok száma	15
Átlók száma	90
Belső szögek összege	2340°
Szabályos tizenötszög
Schläfli-szimbólum	{15}
Szimmetriacsoport	D15 diédercsoport
Terület: egységnyi oldalra	17,642363
Belső szög	156°

A szabályos sokszögek szögeire ismert képlet n=15 esetben a következőt adja:

$\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {13}{15}}\cdot 180^{\circ }=156^{\circ }$

tehát a szabályos tizenötszög belső szögei 156 fokosak.

A szabályos tizenötszög szerkesztése

A szabályos tizenötszög szerkeszthető körzővel és vonalzóval.

Az alábbi animáció egy 36 lépéses szerkesztést mutat be, amely Euklidesztől származik. (Az Elemek című művében a VI. könyv 27. állítása.) Vegyük észre, hogy a körzőnyílás nem változik 14. és a 21. lépések között:

A szabályos tizenötszög területe

A szabályos sokszögek területére ismert képlet a oldalhosszra n=15 esetben:

$A={\frac {n}{4}}a^{2}{\text{ctg}}{\cfrac {\pi }{n}}={\frac {15}{4}}a^{2}{\text{ctg}}{\cfrac {\pi }{15}}={\frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\approx 17{,}6424\cdot a^{2}$

ami a köréírt kör sugarának (R) függvényében a következőképpen alakul n=15 esetben:

$A=n\cdot R^{2}\cdot \sin {\pi \over n}\cdot \cos {\pi \over n}=15\cdot R^{2}\cdot \sin {\pi \over 15}\cdot \cos {\pi \over 15}\approx 3{,}0490697928464843\cdot R^{2}$

a beírt kör sugarának (r) függvényeként pedig így:

$A=n\cdot r^{2}\cdot {\hbox{tg}}{\pi \over n}=15\cdot r^{2}\cdot {\hbox{tg}}{\pi \over 15}\approx 3{,}1866838524672563\cdot r^{2}$

Külső hivatkozások

• Weisstein, Eric W.: Pentadecagon (angol nyelven). Wolfram MathWorld