Speciális unitér csoport

A speciális unitér csoport, jelölés szerint $\operatorname {SU} (n)$ a matematikában az olyan unitér $n\times n$ mátrixok csoportja, melyek determinánsa egy. A csoport asszociatív csoportművelete a mátrixszorzás, és mivel a speciális unitér csoport egy sima sokaság, amelyben a mátrixszorzás tetszőlegesen sokszor differenciálható, ezért egy Lie-csoport.

Az unitér mátrixok determinánsának abszolút értéke egy, ezt a tulajdonságot szűkíti tovább a speciális unitér csoport. Továbbá, a speciális unitér csoport normálosztója az unitér csoportnak ($\operatorname {U} (n)$), mely az $n\times n$ unitér mátrixok csoportja, mely részcsoportja az általános lineáris csoportnak. Formálisabb jelölés szerint $\operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$.

Az $\operatorname {SU} (n)$ csoportok legegyszerűbb esete az $\operatorname {SU} (1)$, mely egy triviális csoport, tehát egyetlen eleme van, az egységelem, ami ebben az esetben $1$. Az $\operatorname {SU} (2)$ izomorf azon kvaterniók csoportjához, melyeknek normája egy, ezáltal diffeomorf a 3-gömbhöz. Mivel a gömbhéjon elhelyezkedő kvaterniókkal leírhatóak forgatások a háromdimenziós térben (egy előjelig bezárólag), létezik egy szürjektív homomorfizmus $\operatorname {SU} (2)$ és a speciális ortogonális forgatáscsoport $\operatorname {SO} (3)$ között, melynek magja az $\{I,-I\}$ halmaz, ahol $I$ az egységmátrixot jelöli. Mivel a kvaterniók identifikálhatóak a $\operatorname {Cl} (3)$ Clifford-algebra páros részével, így az $\operatorname {SU} (2)$ megegyeztethető a spinorok egyik szimmetriacsoportjával, a $\operatorname {Spin} (3)$ spincsoporttal.

Az speciális unitér csoportok rendkívül hasznosak a részecskefizika standard modelljében, főleg $\operatorname {SU} (2)$ az elektrogyenge kölcsönhatás leírásában, az $\operatorname {SU} (3)$ pedig a kvantum-színdinamikában.

Tulajdonságai

A speciális unitér csoport egy szigorúan valós Lie-csoport, melynek dimenziója egy valós sokaságként $n^{2}-1$. Topológiai tulajdonságai közé tartozik, hogy kompakt és egyszerűen összefüggő. Algebrailag besorolható az egyszerű Lie-csoportok közé, tehát a csoport Lie-algebrája is egyszerű.

A speciális unitér csoport centruma izomorf a $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ciklikus csoporthoz, mely olyan diagonális mátrixokat tartalmaz, melynek minden eleme az $n$-edik komplex gyöke az 1-nek. Abban az esetben, amikor $n\geq 3$, az $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ a csoport külső automorfizmuscsoportja, míg az $\operatorname {SU} (2)$ külső automorfizmuscsoportja a triviális csoport.

Az $(n-1)$ ranggal rendelkező maximális tóruszok megadhatóak olyan diagonális mátrixok halmazaként, melynek determinánsa egy. Az $\operatorname {SU} (n)$ Weyl-csoportja a szimmetrikus csoport $\operatorname {S} _{n}$.

Lie-algebrája

Az $\operatorname {SU} (n)$ Lie-algebrája, jelölés szerint ${\mathfrak {su}}(n)$, az olyan antihermitikus komplex mátrixok halmaza, melyek nyoma nulla. A Lie-algebra Lie-zárójele a mátrixok kommutátora. A részecskefizikában gyakran használnak egy alternatív definíciót, mely szerint a csoport Lie-algebrája a nulla-nyommal rendelkező hermitikus mátrixok halmaza, ellátva egy olyan Lie-zárójellel, ami a kommutátor megszorozva $-i$-vel. Az ${\mathfrak {su}}(n)$ algebra dimenziója szintúgy $n^{2}-1$.

Struktúrája

Az ${\mathfrak {su}}(n)$ komplexifikációja az ${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$, mely az $n\times n$-es nyommentes komplex mátrixok algebrája. Ennek Cartan-részalgebrái tehát nyommentes diagonális mátrixokat tartalmaznak, melyek bármelyike megegyeztethető egy olyan vektorral $\mathbb {C} ^{n}$-ben, amelyek komponenseinek összege nulla. A gyökrendszerében ezáltal a $(1;-1;0;\dots ;0)$ számok $n(n-1)$ lehetséges permutációja található meg. Az egyszerű gyököket választhatjuk következőféleképpen:

${\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}$

Következtetésképpen, az $\operatorname {SU} (n)$ csoport rangja $n-1$, Dynkin-diagrammja pedig $A_{n-1}$, melyet grafikusan egy $n-1$ taggal rendelkező lánccal jelölünk. Az ${\mathfrak {su}}(n)$ Lie-algebra Cartan-mátrixa a következő:

${\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.$

Az ${\mathfrak {su}}(n)$ Weyl-csoportja (vagy Coxeter-csoportja) az $\operatorname {S} _{n}$ szimmetrikus csoport, amely az $(n-1)$-szimplex szimmetriacsoportja.

Ábrázoláselmélete

Mivel az $\operatorname {SU} (n)$ egy egyszerűen összefüggő Lie-csoport, bármelyik ábrázolása (vagy reprezentációja) levezethető a csoporthoz tartozó ${\mathfrak {su}}(n)$ Lie-algebra (vagy pedig annak komplexifikációjának) ábrázolásaiból. Mivel a csoport kompakt, így a Peter–Weyl-tétel kimondja, hogy az ábrázolásai felbonthatóak irreducibilis ábrázolások direkt összegeként. Továbbá, az $\operatorname {SU} (n)$ csoport nem kommutatív, így léteznek olyan irreducibilis ábrázolásai, melyeknek egynél nagyobb a dimenziója.

Fundamentális ábrázolása

Egy adott Lie-csoport fundamentális ábrázolása a legkisebb dimenziós nemtriviális irreducibilis ábrázolása. Az ${\mathfrak {su}}(n)$ algebra esetén ez az az ábrázolás, amely megmutatja, hogy az algebra hogyan hat a $\mathbb {C} ^{n}$ testre. Fizikában használt konvenció szerint az algebra generátorainak választhatjuk azokat a $T_{a}$ nyommentes hermitikus $n\times n$-mátrixokat, melyekre teljesül

$T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}$

ahol $\delta _{ab}$ a Kronecker-deltát, $f$ pedig a szerkezeti tényezőket jelöli, melyek minden indexükben antiszimmetrikusak, míg a $d$-vel jelölt állandók minden indexükben szimmetrikusak.

Következésképpen, a generátorok kommutátora a következő:

$~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,$

a megfelelő antikommutátor pedig:

$\left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.$

A kommutátor a fizikusok által használt konvenció szerint úgy teljesíti a Lie-zárójelet definiáló feltételeket, ha tartalmazza az imaginárius egységet, matematikai irodalomban nem található meg, mivel ott a generátorok antihermitikus mátrixok.

Általában a következő normalizáció használatos:

$\sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.$

A generátorok teljesítik a Jabobi-identitást:

$[T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0.$

A fizikusok által használt konvenció oka az, hogy így egyszerűbben leírhatók a fundamentális részecskék bizonyos tulajdonságai, mivel például $\operatorname {SU} (2)$ esetén generátorként választhatók a Pauli-mátrixok $1/2$-del megszorozva, továbbá az $\operatorname {SU} (3)$ csoportnál a Gell-Mann-mátrixok szintén egy ketteddel megszorozva. Ezen definíciók szerint a generátorok a következőt teljesítik:

$Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.$

Adjungált ábrázolása

Egy adott Lie-algebra adjungált ábrázolása az az ábrázolása, melyben az önmagára vetett (Lie-zárójel általi) hatása mutatkozik meg. Ebben az esetben a generátorok olyan $(n^{2}-1)\times (n^{2}-1)$-es mátrixok, melyeket a szerkezeti tényezők definiálnak:

$\left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.$

Az SU(2) csoport

Az $\operatorname {SU} (2)$ olyan $2\times 2$-es unitér mátrixok csoportja, melyek determinánsa egy. Pontosabban kifejezve:

$\operatorname {SU} (2)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\right|\ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,$

ahol például ${\overline {\alpha }}$ az $\alpha$ komplex konjugáltját jelöli. A csoportművelet a mátrixszorzás.

Kapcsolata a 3-gömbbel

Ha a definícióban szereplő $\alpha$ és $\beta$ komplex számokat felbontjuk valós és imaginárius részeikre, tehát $\alpha =a+bi,\ \beta =c+di$, akkor a determinánsra szabott feltétel a következő egyenlet lesz:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$

Ez pontosan az egységsugarú 3-gömb ($\mathbb {S} ^{3}$) egyenlete. Ezt a megfeleltetést lehet egy beágyazásnak is tekinteni: a leképezés

${\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

ahol $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ a $2\times 2$-es komplex mátrixok halmazát jelöli, egy valós injektív lineáris leképezés. Tehát, $\varphi$-nek a $\mathbb {S} ^{3}$-ra vett korlátozása a 3-gömb beágyazása $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ egy kompakt részsokaságába, pontosabban $\varphi (\mathbb {S} ^{3})=\operatorname {SU} (2)$.

Ennek következtében, $\mathbb {S} ^{3}$ diffeomorf $\operatorname {SU} (2)$-vel, mely bizonyítja, hogy $\operatorname {SU} (2)$ egyszerűen összefüggő, $\mathbb {S} ^{3}$ pedig ellátható egy olyan struktúrával, mely egy kompakt, összefüggő Lie-csoporttá teszi.

Kapcsolata az egységkvaterniókkal és a térbeli forgatásokkal

Az egységhosszú kvaterniókat röviden egységkvaternióknak hívjuk, és az $\operatorname {SO} (3)$ csoportot generálják. Az általánosan megadott $\operatorname {SU} (2)$ mátrix

${\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )$

leképezhető a következő formájú kvaternióba:

$a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}.$

Ez a leképezés egy csoportizomorfizmus, a mátrix determinánsa pedig pontosan a kvaternió normája, tehát $\operatorname {SU} (2)$ izomorf az egységkvaterniók csoportjához.

Minden egységkvaternió megfelel egy háromdimenziós térbeli forgatásnak, az egységkvaterniók szorzata pedig a hozzájuk tartozó forgatások kompozíciójának. Továbbá, bármely háromdimenziós térbeli forgatás pontosan kettő különböző egységkvaternióval írható le. Pontosabban megfogalmazva létezik egy 2:1 szürjektív homomorfizmus $\operatorname {SU} (2)$ és $\operatorname {SO} (3)$ között. Ennek következtében, $\operatorname {SO} (3)$ izomorf az $\operatorname {SU} (2)/\{\pm I\}$ faktorcsoporthoz, $\operatorname {SU} (2)$ az $\operatorname {SO} (3)$ univerzális fedése, továbbá az $\operatorname {SO} (3)$-at definiáló sokaság létrehozható, ha $\mathbb {S} ^{3}$ antipodális pontjait megfeleltetjük egymásnak.

Lie-algebrája

Az $\operatorname {SU} (2)$ csoport Lie-algebrájába azon $2\times 2$-es antihermitikus mátrixok tartoznak, melyek nyoma nulla. Pontosabban:

${\mathfrak {su}}(2)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}\right|\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.$

Ezt az algebrát a következő három mátrix generálja:

$u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,$

melyek a következő kommutációs relációkat teljesítik:

$\left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.$

Ezek a generátorok szoros összefüggésben állnak a kvantummechanikában alkalmazott Pauli-mátrixokkal: $u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}$ és $u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.$ Ennek következtében az ${\mathfrak {su}}(2)$ algebrával leírható a fundamentális részecskék (például elektronok) spinje.

Továbbá, a Lie-algebra ábrázolásainak segítségével levezethetőek az $\operatorname {SU} (2)$ ábrázolásai.

Az SU(3) csoport

Az $\operatorname {SU} (3)$ egy 8-dimenziós valós egyszerű Lie-csoport, mely olyan $3\times 3$-as unitér mátrixokat tartalmaz, melyek determinánsa egy.

Topológiai tulajdonságai

Az $\operatorname {SU} (3)$ csoport egyszerűen összefüggő és kompakt. A csoport topológiai struktúrája megérthető abból a tulajdonságából, hogy tranzitív módon hat az $\mathbb {S} ^{5}$ egységgömbre a $\mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}$ térben. A gömb bármelyik pontjának stabilizátora izomorf $\operatorname {SU} (2)$-vel, amely topológiailag a 3-gömb. Ebből következik, hogy $\operatorname {SU} (3)$ egy fibrált nyaláb, melynek bázistere $\mathbb {S} ^{5}$, fibruma (vagy rostja) pedig $\mathbb {S} ^{3}$. Mivel a fibrum és a bázistér is egyszerűen összefüggő, ebből következik, hogy $\operatorname {SU} (3)$ is egyszerűen összefüggő.

Homotópiacsoportok hosszú egzakt sorozatát vizsgálva bizonyítható, hogy az $\operatorname {SU} (3)$ csoport egy nemtriviális (csavart) $\operatorname {SU} (2)$-nyaláb $\mathbb {S} ^{5}$ bázistér felett.

Lie-algebrája

Az $\operatorname {SU} (3)$ Lie-algebrája ${\mathfrak {su}}(3)$, amely a $3\times 3$-as (fizikai konvenció szerint) hermitikus mátrixokat tartalmazza, melyek nyoma nulla. Az algebra generátorai a

$T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,$

mátrixok, ahol $\lambda _{a}$ a Gell-Mann-mátrixokat jelöli, melyek a Pauli-mátrixok háromdimenziós megfelelői:

${\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

A Gell-Mann-mátrixok a következő kommutációs és antikommutációs szabálynak tesznek eleget:

${\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}$

ahol $f$ a Lie-algebra szerkezeti tényezőjeit jelöli. Ezek ${\mathfrak {su}}(3)$ esetén a következők:

${\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}$

ahol olyan $f_{abc}$, melyek nem érhetőek el az előbb felsoroltak permutációjaként, automatikusan nullák. A szimmetrikus $d$ tényezők a következők:

${\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}$

Egy általános $\operatorname {SU} (3)$ csoportelem, melyet egy $H$ $3\times 3$-as hermitikus nyommentes mátrix generál, leírható a következő másodfokú mátrixpolinommal:

${\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}$

ahol

$\varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].$

Általánosított speciális unitér csoport

Adott $F$ test esetén definiálható az általánosított speciális unitér csoport $SU(p,q;F)$, mely azon lineáris leképezések csoportja, melyek determinánsa egy és egy $F$ feletti $n=p+q$-dimenziós vektortérhez tartoznak. Továbbá, ezek a leképezések változatlanul hagynak egy nemelfajuló, szeszkvilineáris formát, melynek szignatúrája $(p,q)$. Az $F$ mező felcserélhető egy kommutatív gyűrűre, ebben az esetben viszont a vektortér felcserélődik egy szabad modulusra.

Amennyiben egy $(p,q)$ szignatúrával rendelkező $A\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ hermitikus mátrixot, akkor minden $M\in \operatorname {SU} (p,q;\mathbb {R} )$-re teljesül

${\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}$

Amennyiben a csoport $\operatorname {SU} (p,q)$-ként van jelölve bármiféle testre való utalás nélkül, akkor a test általában a komplex számtest $\mathbb {C}$.

SU(1,1)

Az $\operatorname {SU} (1,1)$ egy fontos példája az általánosított speciális unitér csoportoknak. Definíció szerint a következő:

$\operatorname {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\{\bar {v}}&{\bar {u}}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):u{\bar {u}}-v{\bar {v}}=1\right\}.$

Ez a csoport izomorf az $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ és a $\operatorname {Spin} (2,1)$ csoportokkal, ahol a vesszővel elválasztott két szám annak a kvadratikus alaknak a szignatúrájára utal, melyet a csoport változatlanul hagy. A definícióban található $u{\bar {u}}-v{\bar {v}}$ kifejezés egy hermitikus forma, melyből egy izotropikus másodfokú forma lesz, ha a $u$-t és $v$-t a valós komponenseire felbontjuk.

A csoport egy korai formája a kokvaterniók egységgömbjeként mutatkozott meg. Legyen

$j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.$

A három mátrix szorzata a kétdimenziós egységmátrix, továbbá mind a három mátrix antikommutál, mint a kvaterniók esetében. Továbbá, $i$ ugyanúgy az egységmátrix $(-1)$-szeresének négyzetgyöke, azonban $j^{2}=k^{2}=I_{2}$. Mind a kvaterniók, mind a kokvaterniók esetén a skalármennyiségek $I_{2}$ többszöröseinek tekinthetők, így a továbbiakban a szakaszban az $I_{2}=1$ jelölés lesz alkalmazva.

A $~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~$ kokvaternió (ahol $w$ egy skalár) konjugáltja $~q^{*}=w-x\,i-y\,j-z\,k~$, hasonlóan a kvaterniókhoz. Az általuk definiálható másodfokú forma $~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.$ A kokvaterniók egységgömbjében ez a mennyiség 1, mely így pontosan megfeleltethető az $\operatorname {SU} (1,1)$ csoportnak, ha a definícióban használt $u$ és $v$ komplex számokat felbontjuk valós és imaginárius részükre.

Fontos részcsoportok

A speciális unitér csoportot a fizikában fermionrendszerek szimmetriáinak leírására alkalmazzák. A spontán szimmetriasértés elméletében fontos bizonyos részcsoportjait felismerni. Például, a nagy egyesített elméletben jelentős részcsoportok $p>1,\ n-p>1$ esetén

$\operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),$

ahol a $\times$ a direkt szorzatot jelöli, $\operatorname {U} (1)$ pedig a körcsoport, mely olyan komplex számokat tartalmaz, melyek normája egy.

Bizonyos ortogonális és szimplektikus csoportok is részcsoportjai $\operatorname {SU} (n)$-nek:

${\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}$

Az $\operatorname {SU} (n)$ részcsoportja a következő Lie-csoportoknak:

${\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3).\end{aligned}}$

A következő izomorfizmusok gyakran használatosak: $\operatorname {SU} (4)=\operatorname {Spin} (6),\,\operatorname {SU} (2)=\operatorname {Spin} (3)=\operatorname {Sp} (1),\,\operatorname {Spin} (4)=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)$.

Jelentősége a fizikában

Az $\operatorname {SU} (n)$ az egyik legfontosabb szimmetriacsoport a fizikában. Az $\operatorname {SU} (2)$ leírja a perdületet a kvantummechanikában, ezáltal a spint is. A csoport irreducibilis ábrázolásait egyedi módon karakterizálják a Casimir-operátor sajátértékei, ebből levezethető, hogy a spin vagy egész szám, vagy egy egész szám fele: például az elektron spinje 1/2 vagy -1/2 lehet, (a Planck-állandót elméleti fizikai konvenció szerint eggyel egyenlővé tesszük) a Pauli-mátrixok pedig a fundamentális ábrázolás generátorai. Mivel az $\operatorname {SU} (2)$ csoportnak három generátora van, így az adjugált ábrázolása háromdimenziós: ez a spin-1 részecskéket írja le.

Az $\operatorname {SU} (3)$ csoport a részecskefizikában a színtöltést írja le: itt két Casimir-operátor van és az irreducibilis ábrázolásokat egy számpárral lehet identifikálni. Továbbá, az $\operatorname {SU} (3)$ segítségével osztályozhatók azok a hadronok, melyek könnyű (azaz top, down és strange) kvarkokból állnak.

Az $\operatorname {SU} (2)$ önmagával vett direkt szorzata (tehát $\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)$) a relativisztikus kvantumelméletben is használt ortokrón Lorentz-csoport univerzális fedése.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Special unitary group című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Hall, Brian C.. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 2nd, Graduate Texts in Mathematics, Springer (2015). ISBN 978-3319134666 

Lásd még

• Az SU(2) ábrázoláselmélete részletesebben az angol Wikipédián
• Clebsch–Gordan-együtthatók az SU(3) ábrázoláselméletéhez az angol Wikipédián