A matematikában a Stirling-számok számos területen fordulnak elő analízisbeli és kombinatorikai problémáknál. A James Stirling (1692–1770) skót matematikusról elnevezett Stirling-számoknak két fajtája különböztethető meg:

  • Elsőfajú Stirling-számok
  • Másodfajú Stirling-számok

JelölésSzerkesztés

A Stirling-számokra többféle jelölés is használatos. Az elsőfajú Stirling-számokat kis s, a másodfajú Stirling-számokat nagy S betű jelöli. Az elsőfajú Stirling-számok negatívak is lehetnek, a másodfajú Stirling-számok csak pozitív számok lehetnek. Az általános jelölés:

 

Elsőfajú Stirling-számokra:

 

Másodfajú Stirling-számokra:

 

Milton Abramowitz és Irene Stegun nagybetűket és gót betűket használ, Jovan Karamata 1935-ben vezette be a szögletes és kapcsos zárójeles jelölést.

Elsőfajú Stirling-számokSzerkesztés

A következő képletben a Stirling-szám az együttható  

ahol   (a Pochhammer-szimbólum) a csökkenő faktoriálist jelöli,

 

Megjegyzés: (x)0 = 1, mert ez egy üres szorzat. A kombinatorikában gyakran használják az   jelölést a csökkenő faktoriálisra és az   jelölést a növekvő faktoriálisra.[1] Az   elsőfajú Stirling-szám   abszolút értéke n elem permutációinak számát adja k diszjunkt ciklus esetén. Az alábbi táblázat az első néhány elsőfajú Stirling-számot mutatja:

 

ahol:

 

Másodfajú Stirling-számokSzerkesztés

Az   másodfajú Stirling-szám egy n elemű halmaz k osztályú osztályozásainak a száma. Rögzített n mellett az összegük az n-edik Bell-szám:  

Lah-számokSzerkesztés

Az   Lah-számokat néha harmadfajú Stirling-számnak is hívják.[2]

Fordítottsági kapcsolatSzerkesztés

Az első- és másodfajú Stirling-számok tekinthetők úgy is, mint egymás inverzei:

 

és

 

ahol   a Kronecker delta függvény.

SzimmetrikusságSzerkesztés

Abramowitz és Stegun megad egy szimmetrikus összefüggést az első- és másodfajú Strirling-számokra:

 

és

 

További információkSzerkesztés

  • Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Konkrét matematika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1998

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

  • Kombinatorika
  • Numerikus sorok
  • Permutáció
  • Hsien-Kuei Hwang (1995). "Asymptotic Expansions for the Stirling Numbers of the First Kind". Journal of Combinatorial Theory, Series A 71 (2): 343–351. doi:10.1016/0097-3165(95)90010-1

ForrásokSzerkesztés