Szélsőérték

A matematikában valamely függvény szélsőértékének nevezzük értelmezési tartományának valamely nyílt halmazzal vett metszetére vett leszűkítésének értékkészletének, illetve annak abszolútértékének maximumát és minimumát.

Valós függvény szélsőértéke

szerkesztés

Globális szélsőérték

szerkesztés

Ha f valósokon értelmezett valósértékű függvény, akkor f globális vagy abszolút szélsőértékeinek nevezzük értelmezési tartományának maximumát illetve minimumát.

Pl.: a   függvény maximuma az 1, amit az   helyeken vesz fel, és minimuma -1, amit pedig az   helyeken vesz fel.

Weierstrass-tétel

szerkesztés

Weierstrass tétele kimondja, hogy minden korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek létezik mindkét abszolút szélsőértéke.

Lokális szélsőérték

szerkesztés

y f függvény lokális vagy helyi szélsőértéke, ha létezik olyan   nyílt halmaz, f-nek amire vett leszűkítésének y abszolút szélsőértéke.

Pl.:  lokális minimuma 0 a 0 helyen.

Differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezésének szükséges feltétele

szerkesztés

Egy Fermat-tól származó tétel kimondja, hogy differenciálható függvény helyi szélsőértékéhez húzott érintő párhuzamos az abszcissza-tengellyel, azaz, ha f teljes értelmezési tartományában differenciálható, akkor lokális szélsőértékeit csak azokon az x helyeken veheti fel, ahol  .

Differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezésének szükséges és elegendő feltétele

szerkesztés

Legyen  -edik deriváltja   egy   környezetében folytonos, és  , továbbá  . Ekkor   helyen pontosan akkor veszi fel lokális szélsőértékét, ha   páros, mégpedig, és ha létezik szélsőérték, abban az esetben, ha  , minimuma van, ellenkező esetben pedig maximuma.

Bizonyítás
szerkesztés

A Taylor-formula szerint   minden   pontjához létezik olyan  , hogy

 , azaz
 

Legyen  , ekkor   folytonossága miatt létezik olyan  , hogy minden  -ra  . Tegyük fel, hogy   páros,  , és  , ekkor

 , azaz  , következésképp  -nek   helyen lokális minimuma van. Ha   páratlan, akkor, ha  , akkor  , ha viszont  , akkor   így   helyen a függvénynek nincs szélsőértéke.   esetben a maximum létezése, ill. nem létezése nagyon hasonlóan látható be.